ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61416
Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Симметрические многочлены ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите неравенства:
  а)  x4 + y4 + z4x²yz + xy²z + xyz²;
  б)  x³ + y³ + z³ ≥ 3xyz;
  в)  x4 + y4 + z4 + t4 ≥ 4xyzt;
  г)   x5 + y5x³y² + x²y³.
Значения переменных считаются положительными.


Решение

  а) См. задачу 30869.

  б) Первый способ. Неравенство следует из разложения  x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – xz)  (см. задачу 61005) и неравенства
x² + y² + z² ≥ xy + yz + xz  (см. задачу 30865).
      Второй способ. Это неравенство Коши (см. задачу 60310) для трёх переменных.

  в) Первый способ.  x4 + y4 + z4 + t4 ≥ 2x²y² + 2z²t² ≥ 4xyzt.
      Второй способ. Это неравенство Коши для четырёх переменных.

  г) Сократив на  x + y,  видим, что достаточно доказать неравенство  x4 + y4x³y + xy³.  Но  x4x³y – xy³ + y4 = (x – y)(x³ – y³) = (x – y)²(x² + xy + y²) ≥ 0.

Замечания

См также задачу 61424.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 10
Название Неравенства
Тема Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер 4
Название Симметрические неравенства
Тема Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер 10.065

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .