Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 12 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Назаров Ф.

Автомат при опускании гривенника выбрасывает пять двушек, а при опускании двушки – пять гривенников.
Может ли Петя, подойдя к автомату с одной двушкой, получить после нескольких опусканий одинаковое количество двушек и гривенников?

Вниз   Решение

На сторонах выпуклого четырёхугольника ABCD внешним образом построены подобные ромбы, причём их острые углы α прилегают к вершинам A и C. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных ромбов, равны, а угол между ними равен α.

ВверхВниз   Решение

Позиционная система счисления. Докажите, что при q $ \geqslant$ 2 каждое натуральное число n может быть единственным образом представлено в виде

n = akqk + ak - 1qk - 1 +...+ a1q + a0,

где 0 $ \leqslant$ a0,..., ak < q

ВверхВниз   Решение

Автор: Седракян Н.

Дан 101 прямоугольник с целыми сторонами, не превышающими 100.
Докажите, что среди них найдутся три прямоугольника A, B, C, которые можно поместить друг в друга (так что  A ⊂ B ⊂ C).

ВверхВниз   Решение

Какое наибольшее количество прямоугольников 4*1 можно разместить в квадрате 6*6 (не нарушая границ клеток)?

ВверхВниз   Решение

Автор: Конягин С.В.

На конгресс собрались учёные, среди которых есть друзья. Оказалось, что каждые два из них, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Доказать, что найдётся учёный, который имеет ровно одного друга из числа участников конгресса.

ВверхВниз   Решение

98 спичек разложили в 19 коробков и на каждом написали количество спичек в этом коробке. Может ли произведение этих чисел быть нечётным числом?

ВверхВниз   Решение

Найдите формулу n-го члена для последовательностей, заданных условиями ( n $ \geqslant$ 0):

a) a0 = 0, a1 = 1, an + 2 = 4an + 1 - 5an;
б) a0 = 1, a1 = 2, an + 2 = 2an + 1 - 2an;
в) a0 = 1, a1 = 2, an + 2 + an + 1 + an = 0;
г) a0 = 1, a1 = 8, an + 2 = 6an + 1 + 25an.

ВверхВниз   Решение

Автор: Гальперин Г.А.

Докажите, что

ВверхВниз   Решение

Докажите, что если  ∠BAC = 2∠ABC,  то   BC² = (AC + AB)·AC.

ВверхВниз   Решение

Автор: Гальперин Г.А.

Рассматривается последовательность  1, ½, ⅓, ¼, ⅕, ⅙, 1/7, ...  Существует ли арифметическая прогрессия
  а) длины 5;
  б) сколь угодно большой длины,
составленная из членов этой последовательности?

ВверхВниз   Решение

Пусть (1 + $ \sqrt{2}$ + $ \sqrt{3}$)n = pn + qn$ \sqrt{2}$ + rn$ \sqrt{3}$ + sn$ \sqrt{6}$ (n $ \geqslant$ 0). Найдите:

а) $ \lim\limits_{n\to \infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{q_n}}$;     б) $ \lim\limits_{n\to \infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{r_n}}$;     в) $ \lim\limits_{n\to \infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{s_n}}$.

Вверх   Решение

Задача 61486
Темы:    [ Квадратные корни (прочее) ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11
 Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Пусть (1 + $ \sqrt{2}$ + $ \sqrt{3}$)n = pn + qn$ \sqrt{2}$ + rn$ \sqrt{3}$ + sn$ \sqrt{6}$ (n $ \geqslant$ 0). Найдите:

а) $ \lim\limits_{n\to \infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{q_n}}$;     б) $ \lim\limits_{n\to \infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{r_n}}$;     в) $ \lim\limits_{n\to \infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{s_n}}$.


Решение

Воспользуемся методом задачи 11.36. Выбирая всевозможные комбинации знаков при числах $ \sqrt{2}$ и $ \sqrt{3}$, получим равенства

$\displaystyle \lambda_{1}^{n}$ = (1 + $\displaystyle \sqrt{2}$ + $\displaystyle \sqrt{3}$)n = pn + qn$\displaystyle \sqrt{2}$ + rn$\displaystyle \sqrt{3}$ + sn$\displaystyle \sqrt{6}$,
$\displaystyle \lambda_{2}^{n}$ = (1 - $\displaystyle \sqrt{2}$ + $\displaystyle \sqrt{3}$)n = pn - qn$\displaystyle \sqrt{2}$ + rn$\displaystyle \sqrt{3}$ - sn$\displaystyle \sqrt{6}$,
$\displaystyle \lambda_{3}^{n}$ = (1 + $\displaystyle \sqrt{2}$ - $\displaystyle \sqrt{3}$)n = pn + qn$\displaystyle \sqrt{2}$ - rn$\displaystyle \sqrt{3}$ - sn$\displaystyle \sqrt{6}$,
$\displaystyle \lambda_{4}^{n}$ = (1 - $\displaystyle \sqrt{2}$ - $\displaystyle \sqrt{3}$)n = pn - qn$\displaystyle \sqrt{2}$ - rn$\displaystyle \sqrt{3}$ + sn$\displaystyle \sqrt{6}$.

Складывая эти равенства с коэффициентами (1, 1, 1, 1), (1, - 1, 1, - 1), (1, 1, - 1, - 1), (1, - 1, - 1, 1), находим

pn = $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{4}}$ ($\displaystyle \lambda_{1}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{2}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{3}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{4}^{n}$),
     
qn = $\displaystyle {\dfrac{1}{4\sqrt2}}$ ($\displaystyle \lambda_{1}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{2}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{3}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{4}^{n}$),
     
rn = $\displaystyle {\dfrac{1}{4\sqrt3}}$ ($\displaystyle \lambda_{1}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{2}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{3}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{4}^{n}$),
     
sn = $\displaystyle {\dfrac{1}{4\sqrt6}}$ ($\displaystyle \lambda_{1}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{2}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{3}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{4}^{n}$).

Отсюда $ \lim\limits_{n\to \infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{q_n}}$ = $ \sqrt{2}$, $ \lim\limits_{n\to \infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{r_n}}$ = $ \sqrt{3}$, $ \lim\limits_{n\to \infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{s_n}}$ = $ \sqrt{6}$.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 11
Название Последовательности и ряды
Тема Последовательности
параграф
Номер 2
Название Рекуррентные последовательности
Тема Рекуррентные соотношения
задача
Номер 11.059
© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .