Выбрана 1 задача 
Убрать все задачи
Булевой функцией называется функция, принимающая одно из логических значений TRUE или FALSE и зависящая от некоторого (быть может, нулевого) количества аргументов, каждый из которых также может принимать любое из значений TRUE или FALSE.
Любая булева функция однозначно задается своей таблицей истинности, в которой для каждого возможного набора значений аргументов указано значение функции. Например, x AND y – булева функция от двух аргументов. Ее таблица истинности выглядит так:
Если договориться, что наборы значений аргументов в таблице располагаются в лексикографическом порядке, то функция AND однозначно задается третьим столбцом таблицы – строкой 0001. Аналогично, каждой булевой функции от k аргументов можно поставить в соответствие строку из нулей и единиц длины 2k.
Задан набор из N+1 булевой функции (f, f1, f2, ..., fN). Напишите программу,
которая определяет, можно ли функцию f выразить через функции f1, f2, ..., fN, и
если такие представления возможны, то находит кратчайшее по числу символов
среди них.
Входные данные
В первой строке входного файла записано целое число N (1 ≤ N ≤ 9).
Последующие N+1 строк содержат описания функций
f, f1, f2, ..., fN соответственно. Каждая из функций описывается строкой символов так, как
указано выше. Число аргументов у функции f будет не более двух, а у остальных
функций – не более трех.
Выходные данные
Первая строка выходного файла должна содержать искомое символьное
представление, либо строку «Impossible», если такого представления не
существует. После функции с нулевым числом аргументов скобки не ставятся.
Если у функции f один аргумент, то он обозначается x, а если два, то они
обозначаются x и y.
Пример входного файла
2
1
1010
0
Пример выходного файла
f1(f2,f2)
Решение 
Условие
В треугольнике ABC: ∠C = 60°, ∠A = 45°. Пусть M – середина BC, H – ортоцентр треугольника ABC.
Докажите, что прямая MH проходит через середину дуги AB описанной окружности треугольника ABC.
Решение
Пусть AA1, BB1 и CC1 – высоты треугольника ABC, O – центр его описанной окружности.
Первый способ. Достаточно доказать два утверждения:
1) прямая B1O проходит через середину W дуги AB.
2) прямые B1O и HM симметричны относительны биссектрисы lc угла C (см. рис. а).
Первое утверждение следует из того, что ∠A = 45°, следовательно, треугольник ABB1
– равнобедренный прямоугольный, то есть точки B1 и O лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
Для доказательства второго утверждения используем два факта:
а) прямые CO и CH симметричны относительно биссектрисы lc (см. задачу 52358).
б) Если ∠C = 60°, то CH = CO, а CM = CB1.
Действительно пусть K – середина стороны AC. Тогда CK = ½ AC = A1K = CA1, и треугольники KCO и A1CH равны по катету и прилежащему углу. Кроме того, CM = ½ BC = CB1.
| Рис. а | Рис. б |
Второй способ. Пусть W – середина дуги AB. Тогда ∠BOW = ½ ∠BOA = 60°, следовательно, треугольник BOW – равносторонний (см. рис. б). Выше было доказано, что CH = OC. Значит, CH = OW и CH || OW, следовательно, OCHW –
параллелограмм.
∠COB = 2∠CAB = 90°, то есть BO⊥WH. Поэтому высота WH равнобедренного треугольника BWO делит отрезок BO пополам, а значит, содержит среднюю линию треугольника BOC, то есть проходит через точку M.
Третий способ. Пусть W – точка пересечения луча MH с описанной окружностью (см. рис. в).
| Рис. в |
Поскольку B1M – медиана прямоугольного треугольника с углом 60°, то BM = CM =
CB1 = B1M и ∠BB1M = 30°. Кроме того,
∠ACC1 = 90° – ∠A = 45°. Следовательно, прямоугольный треугольник HB1C – равнобедренный.
Поэтому треугольник B1HM – равнобедренный с углом 30° при вершине. Следовательно, ∠CHM = ∠B1HM – ∠B1HC = 75° – 45° = 30°.
Пусть точка L симметрична точке H относительно точки M. Тогда HBLC – параллелограмм, и ∠HLB = ∠CHL = 30°. Поскольку L лежит на описанной окружности (см. задачу 108949), то W – середина дуги AB.
