Выбрано 3 задачи 
Убрать все задачи
На наибольшей стороне AB треугольника ABC взяли такие точки P и Q, что AQ = AC, BP = BC.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника PQC совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.
Даны 4 точки: A, B, C, D. Найти такую точку O, что сумма расстояний от неё до данных точек минимальна.
В описанном четырёхугольнике ABCD AB = CD ≠ BC. Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке L. Докажите, что угол ALB острый.
|
|
 |
Условие
В описанном четырёхугольнике ABCD AB = CD ≠ BC. Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке L. Докажите, что угол ALB острый.
Решение
Предположим, что ∠ALB ≥ 90°. Тогда AB² ≥ AL² + BL² и CD² ≥ CL² + DL²; отсюда же получаем, что AD² ≤ AL² + DL² и BC² ≤ BL² + CL². Значит,
2AB² = AB² + CD² ≥ AD² + BC².
С другой стороны, из описанности имеем 2AB = AB + CD = BC + AD. Значит, AD ≠ BC, и 2(AD² + BC²) = (AD + BC)² + (AD – BC)² > (2AB)² = 4AB². Противоречие.
