Володя бежит по круговой дистанции с постоянной скоростью. В двух точках дистанции стоит по фотографу. После старта Володя 2 минуты был ближе к первому фотографу, затем 3 минуты – ближе ко второму фотографу, а потом снова ближе к первому. За какое время Володя пробежал весь круг?

   Решение

Точка H – ортоцентр треугольника ABC. Касательные, проведённые к описанным окружностям треугольников CHB и AHB в точке H, пересекают прямую AC в точках A₁ и C₁ соответственно. Докажите, что  A₁H = C₁H.

   Решение

Треугольники ABC₁ и ABC₂ имеют общее основание AB и  AC₁B = AC₂B. Докажите, что если | AC₁ - C₁B| < | AC₂ - C₂B|, то:
а) площадь треугольника ABC₁ больше площади треугольника ABC₂;
б) периметр треугольника ABC₁ больше периметра треугольника ABC₂.

   Решение

Дан квадрат со стороной 1. От него отсекают четыре уголка — четыре треугольника, у каждого из которых две стороны идут по сторонам квадрата и составляют 1/3 их длины. С полученным 8-угольником делают то же самое: от каждой вершины отрезают треугольник, две стороны которого составляют по 1/3 соответствующих сторон 8-угольника, и так далее. Получается последовательность многоугольников (каждый содержится в предыдущем). Найдите площадь фигуры, являющейся пересечением всех этих многоугольников (то есть образованной точками, принадлежащими всем многоугольникам).

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC провели высоты AA₁ и BB₁, которые пересекаются в точке O. Затем провели высоту A₁A₂ треугольника OBA₁ и высоту B₁B₂ треугольника OAB₁. Докажите, что отрезок A₂B₂ параллелен стороне AB.

   Решение

Через вершины A, B, C треугольника ABC проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Точки A₂, B₂, C₂ симметричны точкам A₁, B₁, C₁ относительно сторон BC, CA, AB соответственно. Докажите, что прямые AA₂, BB₂, CC₂ пересекаются в одной точке.

   Решение

При каких  n > 3  правильный n-угольник можно разрезать диагоналями (возможно, пересекающимися внутри него) на равные треугольники?

   Решение

Почтальон Печкин не хотел отдавать посылку. Тогда Матроскин предложил ему сыграть в следующую игру: каждым ходом Печкин пишет в строку слева направо буквы, произвольно чередуя М и П, пока в строке не будет всего 11 букв. Матроскин после каждого его хода, если хочет, меняет местами любые две буквы. Если в итоге окажется, что записанное слово является палиндромом (то есть одинаково читается слева направо и справо налево), то Печкин отдаёт посылку. Сможет ли Матроскин играть так, чтобы обязательно получить посылку?

   Решение

В четырёхугольнике ABCD стороны AD и BC параллельны.
Докажите, что если биссектрисы углов DAC, DBC, ACB и ADB образовали ромб, то  AB = CD.

   Решение

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

В четырёхугольнике ABCD стороны AD и BC параллельны.
Докажите, что если биссектрисы углов DAC, DBC, ACB и ADB образовали ромб, то  AB = CD.

Решение 1

  Пусть O – точка пересечения диагоналей AC и BD (см. рис). Биссектрисы углов ADB и DAC пересекаются в центре O₁ вписанной окружности треугольника AOD, а биссектрисы углов ACB и DBC – в центре O₂ вписанной окружности треугольника BOC. Значит, точки O₁ и O₂ лежат на общей биссектрисе вертикальных углов AOD и BOC.
  Рассмотрим ромб PO₁QO₂ из условия задачи. В нём  ∠PO₁O₂ = ∠QO₁O₂,  а значит,  ∠DO₁O = ∠AO₁O.  Следовательно, треугольники AOO₁ и DOO₁ равны по стороне (O₁O – общая) и двум прилежащим углам, откуда  AO = DO.  Отсюда  ∠OAD = ∠ODA,  и четырёхугольник ABCD симметричен относительно серединного перпендикуляра к AD. Поэтому  AB = CD.

Решение 2

  Обозначим вершины ромба через P, O₁, Q, O₂, как и в решении 1. Расстояние между прямыми O₂P и O₁Q равно расстоянию между прямыми O₁P и O₂Q, то есть  AC sin(½∠CAD) = BD sin(½∠BDA).
  Так как вершины B и C равноудалены от прямой AD, имеем  AC sin ∠CAD = BD sin∠BDA.
  Деля второе полученное равенство на первое, получаем  cos(½∠CAD) = cos(½∠BDA).
  Так как оба угла CAD и BDA меньше 180°, получаем, что  ∠CAD = ∠BDA.  Как и в решении 1, заключаем, что  AB = CD.

Источники и прецеденты использования