Выбрано 15 задач 
Убрать все задачи
Через вершины А и С треугольника АВС проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла АВС. Они пересекают прямые СВ и ВА в точках К и М соответственно. Найдите длину АВ, если ВМ = 8 см, KC = 1 см и АВ > ВС.
В окружность радиуса 10 вписан четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны и равны 12 и 10. Найдите стороны четырёхугольника.
Найдите все значения корней:
a) ;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
Существует следующий способ проверить, делится ли данное число N на
19:
1) отбрасываем последнюю цифру у числа N;
2) прибавляем к полученному числу произведение отброшенной цифры
на 2;
3) с полученным числом проделываем операции 1) и 2) до тех пор, пока не останется число, меньшее или равное 19.
4) если остается 19, то 19 делится на N, в противном случае N не делится на 19.
Докажите справедливость этого признака делимости.
``65 = 64 = 63''.
Тождество Кассини
лежит в основе одного геометрического
парадокса. Он заключается в том, что можно взять шахматную доску,
разрезать ее на четыре части, как показано ниже, а затем
составить из этих же частей прямоугольник:
Как расположить те же четыре части шахматной доски, чтобы
доказать равенство ``64=63''?
Пусть z1, ..., zn – отличные от
нуля комплексные числа, лежащие в полуплоскости α < arg z < α + π. Докажите, что
а) z1 + ... + zn ≠ 0;
б) 1/z1 + ... + 1/zn ≠ 0.
Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и проекции одного из катетов на гипотенузу.
Найдите все числа вида 13xy45z, которые делятяс на 792.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R. Его диагонали взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке P.
Найдите AP² + BP² + CP² + DP² и AB² + BC² + CD² + AD².
Докажите, что при любом натуральном n число n² + 8n + 15 не делится на n + 4.
Известно, что z + z–1 = 2 cos α.
а) Докажите, что zn + z–n = 2 cos nα.
б) Как выражается zn + z–n через y = z + z–1?
Правильный треугольник ABC вписан в окружность. Прямая l, проходящая через середину стороны AB и параллельная AC, пересекает дугу AB, не содержащую C, в точке K. Докажите, что отношение AK : BK равно отношению стороны правильного пятиугольника к его диагонали.
С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся двух данных концентрических окружностей и данной прямой.
Найдите наименьшее число вида n = 2αpq, где p и q – некоторые нечётные простые числа, для которого σ(n) = 3n.
Учитель записал Пете в тетрадь четыре различных натуральных числа. Для каждой пары этих чисел Петя нашёл их наибольший общий делитель. У него получились шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5 и N, где N > 5. Какое наименьшее значение может иметь число N?
|
|
 |
Условие
Учитель записал Пете в тетрадь четыре различных натуральных числа. Для каждой пары этих чисел Петя нашёл их наибольший общий делитель. У него получились шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5 и N, где N > 5. Какое наименьшее значение может иметь число N?
Решение
Число N может равняться 14, как показывает, например, четвёрка чисел 4, 15, 70, 84. Осталось показать, что N ≥ 14.
Лемма. Среди попарных НОД четырёх чисел не может быть ровно двух чисел, делящихся на некоторое натуральное k.
Доказательство. Если среди исходных четырёх чисел есть не больше двух чисел, делящихся на k, то среди попарных НОД на k делится не более одного. Если же три из исходных чисел делятся на k, то все три их попарных НОД делятся на k.
Применяя лемму к k = 2, получаем, что число N чётно. Применяя её же к k = 3, k = 4 и k = 5, получаем, что N не делится на 3, 4 и 5. Значит, N не может равняться 6, 8, 10 и 12.
Ответ
14.
