Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
На плоскости даны две окружности $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$, касающиеся внешним образом. На окружности $\omega_{1}$ выбран диаметр $AB$, а на окружности $\omega_{2}$ выбран диаметр $CD$. Рассмотрим всевозможные положения точек $A$, $B$, $C$ и $D$, при которых $ABCD$ — выпуклый описанный четырёхугольник, и пусть $I$ — центр его вписанной окружности. Найдите геометрическое место точек $I$.
В каждой клетке полоски длины 100 стоит по фишке. Можно за 1 рубль поменять местами любые две соседние фишки, а также можно бесплатно поменять местами любые две фишки, между которыми стоят ровно три фишки. За какое наименьшее количество рублей можно переставить фишки в обратном порядке?
Существуют ли 100 таких натуральных чисел, среди которых нет одинаковых, что куб одного из них равен сумме кубов остальных?
Внутри параллелограмма $ABCD$ взята такая точка $P$, что ∠$PDA$ = ∠$PBA$. Пусть Ω – вневписанная окружность треугольника $PAB$, лежащая против вершины $A$, а ω – вписанная окружность треугольника $PCD$. Докажите, что одна из общих касательных к Ω и ω параллельна $AD$.
Ортогональной проекцией тетраэдра на плоскость одной из его граней является трапеция площади 1. Может ли ортогональной проекцией этого тетраэдра на плоскость другой его грани быть квадрат площади 1?
Царь вызвал двух мудрецов. Он дал первому 100 пустых карточек и приказал написать на каждой по натуральному числу (числа не обязательно разные), не показывая их второму. Затем первый может сообщить второму несколько различных чисел, каждое из которых либо записано на какой-то карточке, либо равно сумме чисел на каких-то карточках (не уточняя, как именно каждое число получено). Второй должен определить, какие 100 чисел написаны на карточках. Если он этого не сможет, обоим отрубят головы; иначе из бороды каждого вырвут столько волосков, сколько чисел сообщил первый второму. Как мудрецам, не сговариваясь, остаться в живых и потерять минимальное количество волосков?
Даны 15 целых чисел, среди которых нет одинаковых. Петя записал на доску все возможные суммы по 7 из этих чисел, а Вася – все возможные суммы по 8 из этих чисел. Могло ли случиться, что они выписали на доску одни и те же наборы чисел? (Если какое-то число повторяется несколько раз в наборе у Пети, то и у Васи оно должно повторяться столько же раз.)
Вписанная окружность треугольника ABC касается его сторон в точках A', B' и C'. Известно, что ортоцентры треугольников ABC и A'B'C' совпадают. Верно ли, что треугольник ABC – правильный?
|
|
 |
Условие
Вписанная окружность треугольника ABC касается его сторон в точках A', B' и C'. Известно, что ортоцентры треугольников ABC и A'B'C' совпадают. Верно ли, что треугольник ABC – правильный?
Решение
Предположим противное. Пусть O, I – центры описанной и вписанной окружностей треугольника ABC, H – совпадающий ортоцентр треугольников ABC и A'B'C'.
Первый способ. Пусть A'', B'', C'' – вторые точки пересечения прямых A'H, B'H, C'H со вписанной окружностью ω. Тогда
∠A''C''C' = ∠A''A'C' = 90° – ∠A'C'B' = ∠B''B'C' = ∠B''C''C'; это значит, что хорда A''B'' параллельна касательной к ω в точке C', то есть A''B'' || AB. Поэтому стороны треугольников ABC и A''B''C'' параллельны друг другу, а H – центр вписанной окружности треугольника A''B''C''. Следовательно, существует гомотетия, переводящая треугольник ABC в A''B''C''. При этой гомотетии центр описанной окружности O переходит в I, а точка пересечения биссектрис I – в H. Таким образом, точка H лежит на прямой OI, причем OI : IH = R : r.
Какие-то две вершины треугольника ABC (например, A и B) не лежат на прямой OI. Так как AI, BI – биссектрисы углов OAH, OBH соответственно, то OI : IH = AO : AH = BO : BH. Следовательно, AH = BH = r, что невозможно, ибо AH + BH ≥ AB > 2r. Противоречие.
Второй способ. Отрезки IC' и HC перпендикулярны AB и, следовательно, параллельны. Отрезки CI и C'H перпендикулярны A'B', и следовательно, тоже параллельны. Значит, либо точки C, I, C', H лежат на одной прямой (и тогда AC = BC), либо четырёхугольник CIC'H – параллелограмм. Аналогичное утверждение верно для остальных вершин. У треугольника ABC найдётся сторона (скажем, AB), не равная ни одной другой его стороне. Тогда четырёхугольники AIA'H и BIB'H – параллелограммы, и AH = A'I = r = B'I = BH, что, как показано выше, невозможно.
Ответ
Верно.
