Пусть  x = sin 18°.  Докажите, что  4x² + 2x = 1.

   Решение

Докажите, что уравнение  a₁ sin x + b₁ cos x + a₂ sin 2x + b₂ cos 2x + ... + a_n sin nx + b_n cos nx = 0  имеет хотя бы один корень при любых значениях a₁, b₁, a₂, b₂, ..., a_n, b_n.

   Решение

В треугольнике ABC известно, что  AB = BC,  AC = 10.  Из середины D стороны AB проведён перпендикуляр DE к стороне AB до пересечения со стороной BC в точке E. Периметр треугольника ABC равен 40. Найдите периметр треугольника AEC.

   Решение

В треугольнике боковая сторона равна 16 и образует с основанием угол в 60^o; другая боковая сторона равна 14. Найдите основание.

   Решение

В равнобедренную трапецию вписана окружность.
Докажите, что отношение площади трапеции к площади круга равно отношению периметра трапеции к длине окружности.

   Решение

Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна S, а высота трапеции в два раза меньше её боковой стороны.
Найдите радиус окружности.

   Решение

Дан прямоугольный треугольник. Впишите в него прямоугольник с общим прямым углом, у которого диагональ минимальна.

   Решение

Докажите, что  cos²(/2) = p(p - a)/bc и  sin²(/2) = (p - b)(p - c)/bc.

   Решение

Равнобедренные треугольники ABC  (AB = BC)  и   A₁B₁C₁  (A₁B₁ = B₁C₁)  подобны и  AB : A₁B₁ = 2 : 1.  Вершины A₁, B₁ и C₁ расположены соответственно на сторонах CA, AB и BC, причём   A₁B₁ ⊥ AC.  Найдите угол B.

   Решение

Решите уравнения
  а)  x³ – 3x – 1 = 0;
  б)  x³ – 3x – = 0.
Укажите в явном виде все корни этих уравнений.

   Решение

Докажите, что всякая трапеция, вписанная в окружность, — равнобедренная.

   Решение

В равнобедренной трапеции ABCD основания  AD = 12,  BC = 6,  высота равна 4. Диагональ AC делит угол BAD трапеции на две части. Какая из них больше?

   Решение

В треугольнике ABC отмечены середины сторон AC и BC – точки M и N соответственно. Угол MAN равен 15°, а угол BAN равен 45°.
Найдите угол ABM.

   Решение

Темы:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC отмечены середины сторон AC и BC – точки M и N соответственно. Угол MAN равен 15°, а угол BAN равен 45°.
Найдите угол ABM.

Решение 1

Продолжим отрезок MN на его длину в обе стороны и получим точки K и L (рис. слева). Так как M – общая середина отрезков AC и KN, то AKCN – параллелограмм. Значит,  ∠CKM = 45°,  ∠KCM = 15°.  Отметим на отрезке CM точку P так, чтобы угол CKP был равен 15°. Тогда отрезок KP разобьёт треугольник KCM на два равнобедренных треугольника. Кроме того,   ∠PMN = 60°,  поэтому треугольник MPN – равносторонний. Треугольники PLN и PKM равны, треугольник CPL – равнобедренный и прямоугольный, CLBM – параллелограмм, следовательно,  ∠ABM = ∠CLN = ∠CLP + ∠MLP = 75°.

               

Решение 2

Пусть G – точка пересечения медиан треугольника ABC, F – середина GB, треугольник GFO равносторонний, причём точки O и A лежат в одной полуплоскости относительно MB (рис. справа). Тогда  ∠MOB = 120° = 2∠MAB,  значит, O – центр описанной окружности треугольника MAB. При этом  ∠MOG = 30° = 2∠MAG,  поэтому лучи AG и OG проходят через одну точку описанной окружности треугольника AMB. Отсюда следует, что точки A, O и G лежат на одной прямой. Значит,  ∠AMB = ∠MOA : 2 = 75°.

Ответ

75°.

Замечания

В решении 1 можно использовать тот факт, что построенная точка P – центр описанной окружности треугольника KCL.

Источники и прецеденты использования