Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 7 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Внутри треугольника ABC взята такая точка O, что  ∠ABO = ∠CAO,  ∠BAO = ∠BCO,  ∠BOC = 90°.  Найдите отношение  AC : OC.

Вниз   Решение


Восстановите треугольник ABC по прямым lb и lc, содержащим биссектрисы углов B и C, и основанию биссектрисы угла A – точке L1.

ВверхВниз   Решение


Улитке нужно забраться на дерево высотой 10 метров. За день она поднимается на 4 метра, а за ночь сползает на 3.
Когда она доползет до цели, если стартовала улитка утром в понедельник?

ВверхВниз   Решение


Остроугольный треугольник ABC  (AB < AC)  вписан в окружность Ω. Пусть M – точка пересечения его медиан, а AH – высота. Луч MH пересекает Ω в точке A'. Докажите, что описанная окружность треугольника A'HB касается прямой AB.

ВверхВниз   Решение


Автор: Ивлев Б.М.

Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.

ВверхВниз   Решение


Автор: Ивлев Б.М.

Для любого натурального числа n существует составленное из цифр 1 и 2 число, делящееся на 2n. Докажите это.
(Например, на 2 делится 2, на 4 делится 12, на 8 делится 112, на 16 делится 2112...)

ВверхВниз   Решение


Автор: Mahdi Etesami Fard

Ортоцентр H треугольника ABC лежит на вписанной в треугольник окружности.
Докажите, что три окружности с центрами A, B, C, проходящие через H, имеют общую касательную.

Вверх   Решение

Задача 64807
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
[ Проекция на прямую (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Автор: Mahdi Etesami Fard

Ортоцентр H треугольника ABC лежит на вписанной в треугольник окружности.
Докажите, что три окружности с центрами A, B, C, проходящие через H, имеют общую касательную.


Решение 1

Пусть Ha, Hb, Hc – основания высот треугольника. Заметим, что  AH·HHa = BH·HHb = CH·HHc  (например, первое равенство следует из того, что точки Ha и Hb лежат на окружности с диаметром AB). Поэтому существует инверсия с центром H, переводящая точки A, B, C в Ha, Hb, Hc соответственно (в случае остроугольного треугольника надо взять композицию инверсии и центральной симметрии относительно H). При этой инверсии стороны треугольника перейдут в окружности с диаметрами AH, BH, CH, а вписанная окружность – в прямую, касающуюся этих окружностей. Искомая прямая получается из этой гомотетией с центром H и коэффициентом 2.


Решение 2

Пусть I – центр вписанной окружности, A1, B1, C1 – точки её касания со сторонами BC, AC, AB соответственно, а A2, B2, C2 – такие точки (на трёх окружностях из условия), что треугольник A1IH подобен треугольнику HAA2, треугольник B1IH – треугольнику HBB2 и треугольник C1IH – треугольнику HCC2 (подобные треугольники расположены так, что их стороны соответственно параллельны). Касательные в этих точках к этим окружностям параллельны касательной в H к вписанной окружности; достаточно доказать, что эти касательные совпадают, а для этого достаточно показать, что проекции векторов    ,     и      на IH равны. Нетрудно видеть, что они сонаправлены. Поскольку HA2 составляет равные углы с IH и IA2, длина первой проекции равна длине проекции HA2 на AH, то есть  1/r AH·HHa.  Аналогично вычисляются остальные проекции; осталось снова вспомнить, что  AH·HHa = BH·HHb = CH·HHc.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2014
класс
Класс 9
задача
Номер 9.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .