ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи Внутри треугольника ABC взята такая точка O, что ∠ABO = ∠CAO, ∠BAO = ∠BCO, ∠BOC = 90°. Найдите отношение AC : OC. Восстановите треугольник ABC по прямым lb и lc, содержащим биссектрисы углов B и C, и основанию биссектрисы угла A – точке L1. Улитке нужно забраться на дерево высотой 10 метров. За день она поднимается на 4 метра, а за ночь сползает на 3. Остроугольный треугольник ABC (AB < AC) вписан в окружность Ω. Пусть M – точка пересечения его медиан, а AH – высота. Луч MH пересекает Ω в точке A'. Докажите, что описанная окружность треугольника A'HB касается прямой AB. Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся как Для любого натурального числа n существует составленное из цифр 1 и 2 число, делящееся на 2n. Докажите это. Ортоцентр H треугольника ABC лежит на вписанной в треугольник окружности. |
Задача 64807
УсловиеОртоцентр H треугольника ABC лежит на вписанной в треугольник окружности. Решение 1Пусть Ha, Hb, Hc – основания высот треугольника. Заметим, что AH·HHa = BH·HHb = CH·HHc (например, первое равенство следует из того, что точки Ha и Hb лежат на окружности с диаметром AB). Поэтому существует инверсия с центром H, переводящая точки A, B, C в Ha, Hb, Hc соответственно (в случае остроугольного треугольника надо взять композицию инверсии и центральной симметрии относительно H). При этой инверсии стороны треугольника перейдут в окружности с диаметрами AH, BH, CH, а вписанная окружность – в прямую, касающуюся этих окружностей. Искомая прямая получается из этой гомотетией с центром H и коэффициентом 2. Решение 2Пусть I – центр вписанной окружности, A1, B1, C1 – точки её касания со сторонами BC, AC, AB соответственно, а A2, B2, C2 – такие точки (на трёх окружностях из условия), что треугольник A1IH подобен треугольнику HAA2, треугольник B1IH – треугольнику HBB2 и треугольник C1IH – треугольнику HCC2 (подобные треугольники расположены так, что их стороны соответственно параллельны). Касательные в этих точках к этим окружностям параллельны касательной в H к вписанной окружности; достаточно доказать, что эти касательные совпадают, а для этого достаточно показать, что проекции векторов Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке