|
|
 |
Условие
Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Внутри треугольника BCD взяли точку La, расстояния от которой до сторон треугольника пропорциональны этим сторонам. Аналогично внутри треугольников ACD, ABD, ABC взяли точки Lb, Lc и Ld соответственно. Оказалось, что четырёхугольник LaLbLcLd вписанный. Докажите, что у ABCD есть две параллельные стороны.
Решение
Предположим, что четырёхугольник LaLbLcLd вписанный, но в четырёхугольнике ABCD нет параллельных сторон. Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке P, AD и BC – в точке Q, а AC и BD – в точке R (см. рис.). Далее, пусть касательные к окружности в точках A, B, C и D образуют четырёхугольник STUV, как показано на рисунке; некоторые из точек S, T, U и V могут быть бесконечно удалёнными.
Обозначим через W точку пересечения ST и UV, а через X – точку пересечения SV и UT (эти точки могут быть бесконечно удалёнными). Точно так же докажем, что LaLb и LcLd пересекаются в точке P, а LaLd и LbLc – в точке Q.
Так как вершины треугольника PQR являются точками пересечения диагоналей и противоположных сторон четырёхугольника ABCD, вершины этого треугольника являются полюсами его сторон относительно описанной окружности Ω четырёхугольника ABCD (такая окружность называется автополярной окружностью треугольника PQR). По тем же причинам описанная окружность ω четырёхугольника LaLbLcLd также является автополярной относительно PQR. Но для треугольника может существовать максимум одна автополярная окружность. Следовательно, Ω совпадает с ω, что невозможно, так как точки La, Lb, Lc и Ld лежат внутри Ω.
Замечания
Покажем, что автополярная окружность может быть только одна. Если ω автополярна для треугольника PQR, O – её центр, а r – её радиус, то PO ⊥ QR и QO ⊥ PR, то есть O – ортоцентр треугольника PQR. Кроме того, PO·ρ(O, QR) = r², откуда восстанавливается её радиус.
