Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
Учитель собирается дать детям задачу следующего вида. Он сообщит им, что он задумал многочлен P(x) степени 2017 с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого равен 1. Затем он сообщит им k целых чисел n1, n2, ..., nk и отдельно сообщит значение выражения P(n1)P(n2)...P(nk). По этим данным дети должны найти многочлен, который мог бы задумать учитель. При каком наименьшем k учитель сможет составить задачу такого вида так, чтобы многочлен, найденный детьми, обязательно совпал бы с задуманным?
На плоскости дано n3 точек. Пусть d — наибольшее
расстояние между парами этих точек. Докажите, что имеется
не более n пар точек, расстояние между которыми равно d.
Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне. Найдите острый угол и большее основание трапеции, если меньшее основание равно 3, а высота трапеции равна 2.
Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица умножения"). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами?
Найти все такие натуральные n, для которых числа 1/n и 1/n+1 выражаются конечными десятичными дробями.
Составить две прогрессии: арифметическую и геометрическую, каждую из четырёх членов; при этом, если сложить одноимённые члены обеих прогрессий, то должны получиться числа: 27, 27, 39, 87.
Треугольник ABC не имеет тупых углов. На стороне AC этого треугольника взята точка D так, что AD = ¾ AC. Найдите угол A, если известно, что прямая BD разбивает треугольник ABC на два подобных треугольника.
В равенстве х5 + 2x + 3 = pk числа х и k – натуральные. Может ли число р быть простым?
|
|
 |
Условие
В равенстве х5 + 2x + 3 = pk числа х и k – натуральные. Может ли число р быть простым?
Решение
Заметим, что x5 + 2x + 3 = (x + 1)(x4 – x³ + x² – x + 3). При этом оба множителя больше единицы, а второй не меньше первого.
Если число р – простое, то x + 1 = pa, x4 – x³ +
x² – x + 3 = pb, где а и b – натуральные числа и b ≥ a. Тогда x4 – x³ + x² – x + 3 делится на x + 1. Значит, остаток от деления многочлена P(x) = x4 – x³ + x² – x + 3 на x + 1 делится на x + 1. По теореме Безу этот остаток равен P(–1) = 7. Следовательно, 7 делится на x + 1, то есть x = 6.
Подставив х = 6 в исходное равенство, получим: 7791 = pk. Но число 7791 не является степенью простого числа (оно делится на 3, но не делится на 9).
Ответ
Не может.
Замечания
Догадаться о том, что исходный многочлен делится на x + 1 можно с помощью теоремы Безу.
