Задача 64917

Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Прямая Симсона ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

Дан треугольник ABC. Рассматриваются прямые l, обладающие следующим свойством: три прямые, симметричные l относительно сторон треугольника, пересекаются в одной точке. Докажите, что все такие прямые проходят через одну точку.

Решение

Пусть прямые, симметричные l, пересекаются в точке P. Тогда точки, симметричные P, лежат на l, а, значит, проекции P на стороны треугольника лежат на одной прямой. Следовательно, по теореме Симсона (см. задачу 56934) P лежит на описанной окружности треугольника ABC. Кроме того, так как прямая Симсона точки P делит пополам отрезок между P и ортоцентром H треугольника ABC (см. задачу 56946), то l проходит через H.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2012
тур
задача
Номер	15