Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
Докажите, что если стороны a, b и противолежащие им углы α и β треугольника связаны соотношением a/cos α = b/cos β, то треугольник – равнобедренный.
Три купчихи – Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна – сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоём 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна – 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна – 14. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?
Постройте четырехугольник по углам и диагоналям.
Число Y получается из натурального числа X некоторой перестановкой его цифр. Известно, что X + Y = 10200. Доказать, что X делится на 50.
а) Покажите, что среди любых шести целых чисел найдутся два, разность которых
кратна 5.
б) Останется ли это утверждение верным, если вместо разности
взять сумму?
Исследуйте последовательности на сходимость:
а)
xn + 1 = , x0 = 1;
б)
xn + 1 = sin xn,
x0 = a (0;
);
в)
xn + 1 = , a > 0, x0 = 0.
a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что
Докажите, что если в выражении (x² – x + 1)2014 раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то какой-нибудь коэффициент полученного многочлена будет отрицательным.
|
|
 |
Условие
Докажите, что если в выражении (x² – x + 1)2014 раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то какой-нибудь коэффициент полученного многочлена будет отрицательным.
Решение 1
Найдём коэффициент при х в полученном многочлене. Подобные слагаемые с буквенной частью x образуются при перемножении 2014 одинаковых скобок следующим образом: в одной из скобок берется слагаемое – x, а в остальных скобках – слагаемое 1. Следовательно, коэффициент при х будет равен –2014.
Решение 2
Сумма коэффициентов полученного многочлена равна его значению при x = 1, то есть (1 – 1 + 1)2014 = 1. Но в этом многочлене коэффициент при x4028 и свободный член равны 1. Следовательно, должен быть хотя бы один отрицательный коэффициент.
