Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ точки $K$, $L$, $M$, $N$ – середины сторон $BC$, $CD$, $DA$, $AB$ соответственно. Отрезки $AK$, $BL$, $CM$, $DN$, пересекаясь, делят друг друга на три части. Оказалось, что отношение длины средней части к длине всего отрезка одно и то же для всех четырех отрезков. Верно ли, что $ABCD$ – параллелограмм?
В равные углы X1OY и YOX2 вписаны окружности ω1 и ω2, касающиеся сторон OX1 и OX2 в точках A1 и A2 соответственно, а стороны OY – в точках B1 и B2. C1 – вторая точка пересечения A1B2 и ω1, а C2 – вторая точка пересечения A2B1 и ω2. Докажите, что C1C2 – общая касательная к окружностям.
Сторона основания ABCD правильной четырехугольной пирамиды
SABCD равна a, боковое ребро равно b. Найдите площадь сечения
пирамиды плоскостью, проходящей через прямую BD параллельно прямой
AS.
В пространстве (но не в одной плоскости) расположены шесть различных точек: A, B, C, D, E и F. Известно, что отрезки AB и DE, BC и EF, CD и FA попарно параллельны. Докажите, что эти же отрезки и попарно равны.
|
|
 |
Условие
В пространстве (но не в одной плоскости) расположены шесть различных точек: A, B, C, D, E и F. Известно, что отрезки AB и DE, BC и EF, CD и FA попарно параллельны. Докажите, что эти же отрезки и попарно равны.
Решение
В плоскости АВС есть пара пересекающихся прямых АВ и ВС, которые соответственно параллельны прямым DE и EF в плоскости DEF. Следовательно, плоскости АВС и DEF параллельны, а CD и АF – отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, значит, CD = АF.
Аналогично доказывается, что AB = DE и BC = EF.
Замечания
Условие расположения точек не в одной плоскости существенно. Например, "отрежем" от каждой вершины правильного треугольника со стороной 4 по правильному треугольнику со стороной 1 и получим шестиугольник ABCDEF, в котором выполняется попарная параллельность отрезков, но не выполняется их равенство.
