Выбрано 12 задач 
Убрать все задачи
По окружности выписано 10 чисел, сумма которых равна 100. Известно, что сумма каждых трёх чисел, стоящих рядом, не меньше 29.
Укажите такое наименьшее число А, что в любом таком наборе чисел каждое из чисел не превосходит А.
n школьников хотят разделить поровну m одинаковых шоколадок, при этом каждую шоколадку можно разломить не более одного раза.
а) При каких n это возможно, если m = 9?
б) При каких n и m это возможно?
Для чисел а, b и с выполняется равенство . Следует ли из него, что
?
ABCD - вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. P - точка пересечения диагоналей.
Известен радиус описанной окружности R.
а) Найдите
AP2 + BP2 + CP2 + DP2.
б) Найдите сумму квадратов сторон четырехугольника ABCD.
Три шахматиста A, B и C сыграли матч-турнир (каждый с каждым сыграл одинаковое число партий). Может ли случиться, что по числу очков A занял первое место, C – последнее, а по числу побед, наоборот, A занял последнее место, C – первое (за победу присуждается одно очко, за ничью – пол-очка)?
Лёша нарисовал геометрическую картинку, обведя четыре раза свой пластмассовый прямоугольный треугольник, прикладывая короткий катет к гипотенузе и совмещая вершину острого угла с вершиной прямого. Оказалось, что "замыкающий" пятый треугольник – равнобедренный (см. рис., равны именно отмеченные стороны). Найдите острые углы Лёшиного треугольника?
Доказать, что в круг радиуса 1 нельзя поместить без наложений два треугольника, площадь каждого из которых больше 1.
Найдите сумму цифр в десятичной записи числа 412·521.
Задан массив натуральных чисел P[1:n]. Найти минимальное натуральное число, не представимое суммой никаких элементов массива P. Сумма может состоять и из одного слагаемого, но каждый элемент массива может входить в неё только один раз.
Может ли разность квадратов двух простых чисел быть квадратом натурального числа?
На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Разрешается стереть с доски любые два числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов на доске останется одно число. Может ли оно равняться нулю?
Докажите, что для любого неравнобедренного треугольника
, где l1, l2 – наибольшая и наименьшая биссектрисы треугольника, S – его площадь.
|
|
 |
Условие
Докажите, что для любого неравнобедренного треугольника
, где l1, l2 – наибольшая и наименьшая биссектрисы треугольника, S – его площадь.
Решение
Пусть a > b > c – стороны треугольника, 2α, 2β, 2γ – соответствующие им углы. Пусть l – биссектриса наибольшего угла, тогда
S = ½ bc sin 2α = ½ (b + c)l sin α. Отсюда и из аналогичных соотношений для других биссектрис видно, что l – наименьшая биссектриса, то есть
l = l2. Поэтому правое неравенство можно переписать в виде или
Но π/6 < α < π/2, следовательно, левая часть больше 1, а правая меньше 1 по неравенству Коши.
Так как 2γ < π/3, то
С другой стороны,
(поскольку b > c, то
b cos 2γ > a/2). Поэтому левое неравенство следует из того, что
