Задача 65021

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Проективная геометрия (прочее) ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Ивлев Ф.

Вписанная окружность остроугольного треугольника ABC касается его сторон AB, BC, CA в точках C₁, A₁, B₁ соответственно. Пусть A₂, B₂ – середины отрезков B₁C₁, A₁C₁ соответственно, O – центр описанной окружности треугольника ABC, P – одна из точек пересечения прямой CO с вписанной окружностью. Прямые PA₂ и PB₂ вторично пересекают вписанную окружность в точках A' и B'. Докажите, что прямые AA' и BB' пересекаются на высоте треугольника, опущенной на AB.

Решение

  Достаточно доказать, что прямая AA' симметрична AP относительно биссектрисы угла A. Аналогично докажем, что BB' симметрична BP относительно биссектрисы угла B. Согласно задаче 56924 точка пересечения этих прямых лежит на прямой, симметричной CP относительно биссектрисы угла C, то есть на высоте треугольника (см. задачу 52358).
  Пусть Q – точка пересечения прямой AP с вписанной окружностью ω, S – середина дуги B₁C₁ (см. рис.). Композиция проекций ω на себя из точек A и A₂ меняет местами точки B₁ и C₁, переводит Q в A' и оставляет S на месте. Значит, равны двойные отношения  (B₁QSC₁) = (C₁A'SB₁),  то есть точки A' и Q симметричны относительно прямой AA₂, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2010
тур
задача
Номер	20