Выбрано 15 задач 
Убрать все задачи
Решите систему:
Пусть X – такая точка внутри треугольника ABC, что XA·BC = XB·AC = XC·AB; I1, I2, I3 – центры вписанных окружностей треугольников XBC, XCA и XAB соответственно. Докажите, что прямые AI1, BI2 и CI3 пересекаются в одной точке.
Докажите, что среди семи различных чисел всегда можно выбрать два числа x и y так, чтобы выполнялось неравенство
Докажите, что среднее арифметическое всех делителей натурального числа n лежит на отрезке
На сторонах AB, BC, CD и DA вписанного четырёхугольника ABCD, длины которых равны a, b, c и d, внешним образом построены прямоугольники размером a×с, b×d, с×a и d×b. Докажите, что их центры являются вершинами прямоугольника.
Для каждого натурального n > 1 существует такое число cn, что для любого x произведение синуса числа x, синуса числа x + π/n, синуса числа
x + 2π/n, ..., наконец, синуса числа x + (n – 1)π/n равно произведению числа cn на синус числа nx. Докажите это и найдите величину cn.
Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна h.
Какую наименьшую длину может иметь медиана, проведённая из вершины большего острого угла?
Сумма восьми чисел равна 4/3. Оказалось, что сумма каждых семи чисел из этих восьми – положительна. Какое наименьшее целое значение может принимать наименьшее из данных чисел?
X – число, большее 2. Некто пишет на карточках числа: 1, X, X², X³, X4, ..., Xk (каждое число только на одной карточке). Потом часть карточек он кладёт себе в правый карман, часть в левый, остальные выбрасывает. Докажите, что сумма чисел в правом кармане не может быть равна сумме чисел в левом.
Отрезки AA1 , BB1 и CC1 , концы которых лежат на сфере радиуса 10, попарно перпендикулярны и пересекаются в точке M . Известно, что AA1=12 , BB1 =18 и CM:MC1=11:3 . Найдите расстояние от центра сферы до точки M,
Постройте четырёхугольник ABCD по четырём сторонам, если известно, что его диагональ AC является биссектрисой угла A.
Докажите, что
а)
S3 (
/4)3(abc)2;
б)
3hahbhc 43
3rarbrc.
Найдите расстояние между точками касания окружностей, вписанных в треугольники ABC и CDA, со стороной AC, если
а) AB = 5, BC = 7, CD = DA;
б) AB = 7, BC = CD, DA = 9.
Через точку K , расположенную внутри сферы, проведены три
попарно перпендикулярные прямые. Первая прямая пересекает сферу в
точках A и A1 , вторая – в точках B и B1 , третья –
в точках C и C1 , причём AA1=22 , CC1=20 , а
точка K делит отрезок BB1 в отношении (9 + ) :
(9 -
) . Найдите радиус сферы, если известно, что точка
K отстоит от центра сферы на расстоянии
.
Внутри окружности расположен равносторонний N-угольник. Каждую его сторону продлевают в обе стороны до пересечения с окружностью, получая по два новых отрезка, расположенных вне многоугольника. Затем некоторые из 2N полученных отрезков красятся в красный цвет, а остальные – в синий цвет. Докажите, что можно раскрасить эти отрезки так, чтобы сумма длин красных отрезков равнялась сумме длин синих.
|
|
 |
Условие
Внутри окружности расположен равносторонний N-угольник. Каждую его сторону продлевают в обе стороны до пересечения с окружностью, получая по два новых отрезка, расположенных вне многоугольника. Затем некоторые из 2N полученных отрезков красятся в красный цвет, а остальные – в синий цвет. Докажите, что можно раскрасить эти отрезки так, чтобы сумма длин красных отрезков равнялась сумме длин синих.
Решение
Пусть каждая сторона AiAi+1 = a многоугольника A1...AN продолжена синим отрезком AiBi = bi и красным отрезком Ai+1Ci = ci (считаем, что
AN+1 = A1). Хорды B1C1 и B2C2 пересекаются в точке A2, значит, c1(a + b1) = b2(a + c2), то есть (c1 – b2)a = b2c2 – b1c1. Аналогично
(c2 – b3)a = b3c3 – b2c2 и т. д. Сложив все эти равенства, получим (c1 + ... + cN – b1 – ... – bN)a = 0, то есть c1 + ... + cN = b1 + ... + bN.
Замечания
Баллы: 8-9 кл. – 9, 10-11 кл. – 8.
