Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 11 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Изначально на столе лежат 111 кусков пластилина одинаковой массы. За одну операцию можно выбрать несколько групп (возможно, одну) по одинаковому количеству кусков и в каждой группе весь пластилин слепить в один кусок. За какое наименьшее количество операций можно получить ровно 11 кусков, каждые два из которых имеют различные массы?

Вниз   Решение


Решить в целых числах уравнение  xy = x + y.

ВверхВниз   Решение


Две стороны треугольника равны 25 и 30, а высота, проведённая к третьей, равна 24. Найдите третью сторону.

ВверхВниз   Решение


AB и CD – параллельные прямые, AC – секущая (точки B и D находятся по одну сторону от прямой AC), E и F – точки пересечения прямых AB и CD с биссектрисами углов C и A. Известно, что  AF = 96,  CE = 110.  Найдите AC.

ВверхВниз   Решение


Можно ли раздать шести детям 40 конфет так, чтобы у всех было разное количество конфет и у каждых двух вместе было менее половины всех конфет?

ВверхВниз   Решение


Произведение двух положительных чисел больше их суммы. Докажите, что эта сумма больше 4.

ВверхВниз   Решение


По условиям шахматного матча победителем объявляется тот, кто опередил соперника на две победы. Ничьи в счет не идут. Вероятности выигрыша у соперников одинаковы. Число результативных партий в таком матче – величина случайная. Найдите её математическое ожидание.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC угол B — прямой или тупой. На стороне BC взяты точки M и N так, что BM=MN=NC. Докажите, что BAM>MAN>NAC.

ВверхВниз   Решение


На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD построены внешним образом правильные треугольники BCK и DCL.
Докажите, что треугольник AKL правильный.

ВверхВниз   Решение


Треугольники ACC1 и BCC1 равны. Их вершины A и B лежат по разные стороны от прямой CC1.
Докажите, что треугольники ABC и ABC1 – равнобедренные.

ВверхВниз   Решение


Петр Иванович, еще 49 мужчин и 50 женщин в случайном порядке рассаживаются вокруг круглого стола. Назовём мужчину довольным, если рядом с ним сидит женщина. Найдите:
  а) вероятность того, что Петр Иванович доволен;
  б) математическое ожидание числа довольных мужчин.

Вверх   Решение

Задача 65333
Темы:    [ Дискретное распределение ]
[ Средние величины ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Петр Иванович, еще 49 мужчин и 50 женщин в случайном порядке рассаживаются вокруг круглого стола. Назовём мужчину довольным, если рядом с ним сидит женщина. Найдите:
  а) вероятность того, что Петр Иванович доволен;
  б) математическое ожидание числа довольных мужчин.


Решение

  а) Петр Иванович недоволен, только если по обе стороны от него сидят мужчины. Вероятность этого равна  49/99·48/98 = 8/33.
Следовательно, вероятность противоположного события "Петр Иванович доволен" равна 25/33.

  б) Вероятность того, что один мужчина доволен, равна 25/33. Это – математическое ожидание числа довольных мужчин среди одного мужчины. Тогда среди 50 мужчин математическое ожидание числа довольных равно  50·25/33 = 1250/33.


Ответ

а) 25/33;   б) 3729/33.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата 2012
задача
Номер 9

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .