Версия для печати
Убрать все задачи

---

Квадратный трёхчлен  f(x) = ax² + bx + c  таков, что уравнение  f(x) = x  не имеет вещественных корней.
Докажите, что уравнение  f(f(x)) = x  также не имеет вещественных корней.

   Решение

---

Подряд выписаны n чисел, среди которых есть положительные и отрицательные. Подчеркивается каждое положительное число, а также каждое число, сумма которого с несколькими непосредственно следующими за ним числами положительна. Докажите, что сумма всех подчеркнутых чисел положительна.

   Решение

---

Докажите, что если в треугольной пирамиде любые два трехгранных угла равны или симметричны, то все грани этой пирамиды равны.

   Решение

---

Окружность ω описана около остроугольного треугольника ABC. На стороне AB выбрана точка D, а на стороне BC – точка E так, что  DE || AC.  Точки P и Q на меньшей дуге AC окружности ω таковы, что  DP || EQ.  Лучи QA и PC пересекают прямую DE в точках X и Y соответственно. Докажите, что  ∠XBY + ∠PBQ = 180°.

   Решение

---

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. Пусть ω – его описанная окружность, точка M – середина стороны BC, P – вторая точка пересечения описанной окружности треугольника AB₁C₁ и ω, T – точка пересечения касательных к ω, проведённых в точках B и C, S – точка пересечения AT и ω. Докажите, что P, A₁, S и середина отрезка MT лежат на одной прямой.

   Решение

---

Пусть A₁, B₁,..., F₁ — середины сторон AB, BC,..., FA произвольного шестиугольника. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников A₁C₁E₁ и B₁D₁F₁ совпадают.

   Решение

---

Дана равнобокая трапеция $ABCD$ ($AB=CD$). На описанной около неё окружности выбирается точка $P$ так, что отрезок $CP$ пересекает основание $AD$ в точке $Q$. Пусть $L$ – середина $QD$. Докажите, что длина диагонали трапеции не превосходит суммы расстояний от середин её боковых сторон до любой точки прямой $PL$.

   Решение

---

На сферической планете с длиной экватора 1 планируют проложить N кольцевых дорог, каждая из которых будет идти по окружности длины 1. Затем по каждой дороге запустят несколько поездов. Все поезда будут ездить по дорогам с одной и той же положительной постоянной скоростью, никогда не останавливаясь и не сталкиваясь. Какова в таких условиях максимально возможная суммарная длина всех поездов? Поезда считайте дугами нулевой толщины, из которых выброшены концевые точки. Решите задачу в случаях:  а)  N = 3;  б)  N = 4.

   Решение

Темы:    [ Окружности на сфере ] [ Правильные многогранники (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

На сферической планете с длиной экватора 1 планируют проложить N кольцевых дорог, каждая из которых будет идти по окружности длины 1. Затем по каждой дороге запустят несколько поездов. Все поезда будут ездить по дорогам с одной и той же положительной постоянной скоростью, никогда не останавливаясь и не сталкиваясь. Какова в таких условиях максимально возможная суммарная длина всех поездов? Поезда считайте дугами нулевой толщины, из которых выброшены концевые точки. Решите задачу в случаях:  а)  N = 3;  б)  N = 4.

Решение

  Оценка. Возьмём любые две дороги – большие окружности на сфере. Они пересекаются в некоторой точке-узле. Мысленно повернём одну из этих дорог относительно диаметра, содержащего узел, чтобы совпали дороги и направления движения на них. Если в этом эксперименте поезда-дуги пересекутся, то через некоторое время они на самом деле пересекутся в узле, что запрещено. Поэтому сумма длин поездов на этих дорогах не больше 1. Пусть a₁, ..., a_n – суммы длин поездов на n дорогах. Складывая все неравенства вида  a_i + a_j ≤ 1,  где  1 ≤ i < j ≤ n,  получим
(n – 1)(a₁ + ... + a_n) ≤ ½ n(n – 1),  то есть  a₁ + ... + a_n ≤ ⁿ/₂. 

  Пример. Первый способ.

  На рисунках изображены "проекции" планов дорог на вписанные в сферу:  а) октаэдр (слева);  б) кубоктаэдр (справа). Каждая дорога выделена своим цветом. Рёбра со стрелками – поезда.
  (Кубоктаэдр получается из куба соединением середин всех соседних рёбер. Таким образом, проекции дорог – это правильные шестиугольники – сечения бывшего куба.)

  Второй способ. б) Рассмотрим правильную четырёхугольную призму, вписанную в данную сферу. Каждая дорога – сечение сферы плоскостью, проходящей через одно из ребер основания и противоположное ребро другого основания призмы. На каждой дороге разместим по одному поезду длины ½. На рисунке изображены "проекции" дорог и поездов на поверхность призмы (каждой дороге соответствует свой цвет).
  а) Достаточно убрать одну из дорог, построенных в п. б).

Ответ

а) 1,5;  б) 2.

Замечания

1. Как в первом способе из икосаэдра (или додекаэдра) можно вырезать икосододекаэдр (см. рис.) и так же расставить поезда, получив пример с шестью дорогами.

2. На самом деле можно добиться сколь угодно большой суммарной длины поездов, если разрешается использовать сколь угодно большое число дорог.

3. Баллы – 4 + 6.

Источники и прецеденты использования