Выбрано 3 задачи 
Убрать все задачи
Докажите, что из любого выпуклого четырёхугольника можно вырезать три его копии вдвое меньшего размера.
Докажите, что среди вершин выпуклого девятиугольника можно найти три, образующие тупоугольный треугольник, ни одна сторона которого не совпадает со сторонами девятиугольника.
Дан треугольник ABC. Рассмотрим три окружности, первая из которых касается описанной окружности Ω в вершине A, а вписанной окружности ω внешним образом в какой-то точке A1. Аналогично определяются точки B1 и C1.
а) Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
б) Пусть A2 – точка касания ω со стороной BC. Докажите, что прямые AA1 и AA2 симметричны относительно биссектрисы угла A.
|
|
 |
Условие
Дан треугольник ABC. Рассмотрим три окружности, первая из которых касается описанной окружности Ω в вершине A, а вписанной окружности ω внешним образом в какой-то точке A1. Аналогично определяются точки B1 и C1.
а) Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
б) Пусть A2 – точка касания ω со стороной BC. Докажите, что прямые AA1 и AA2 симметричны относительно биссектрисы угла A.
Решение
а) Обозначим первую из указанных окружностей через α. Так как точка A является центром положительной гомотетии α и Ω, а точка A1 – центром отрицательной гомотетии α и ω, то прямая AA1 проходит через центр отрицательной гомотетии Ω и ω. Через эту же точку проходят две другие прямые.
б) Известно, что центр отрицательной гомотетии Ω и ω изогонально сопряжен точке Жергонна (см., например книгу А.В. Акопяна и А.А. Заславского "Геометрические свойства кривых второго порядка", с. 57), в которой пересекаются прямые AA2, BB2 и CC2 (см. задачу 53788). Отсюда сразу следует утверждение задачи.
