Про трапецию ABCD с основаниями AD и BC известно, что AB = BD. Пусть точка M – середина боковой стороны CD, а O – точка пересечения отрезков AC и BM. Докажите, что треугольник BOC – равнобедренный.

   Решение

Из бумаги вырезали два одинаковых треугольника ABC и A'B'C' и положили их на стол, перевернув при этом один из треугольников.
Докажите, что середины отрезков AA', BB' и CC' лежат на одной прямой.

   Решение

В прямоугольной трапеции PQRS ( QR || PS, PQ PS) меньшее основание QR равно 2, а боковая сторона RS равна 4. Точка T, середина стороны RS, соединена отрезком прямой с точкой P. Известно, что угол TPS равен . Найдите площадь трапеции PQRS.

   Решение

Дан остроугольный треугольник ABC. Точки H и O – его ортоцентр и центр описанной окружности соответственно. Серединный перпендикуляр к отрезку BH пересекает стороны AB и BC в точках A₁ и C₁. Докажите, что OB – биссектриса угла A₁OC₁.

   Решение

Даны прямоугольный треугольник ABC и две взаимно перпендикулярные прямые x и y, проходящие через вершину прямого угла A. Для точки X, движущейся по прямой x, определим y_b как образ прямой y при симметрии относительно XB, а y_c – как образ прямой y при симметрии относительно XC. Пусть y_b и y_с пересекаются в точке Y. Найдите геометрическое место точек Y (для несовпадающих y_b и y_с).

   Решение

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Даны прямоугольный треугольник ABC и две взаимно перпендикулярные прямые x и y, проходящие через вершину прямого угла A. Для точки X, движущейся по прямой x, определим y_b как образ прямой y при симметрии относительно XB, а y_c – как образ прямой y при симметрии относительно XC. Пусть y_b и y_с пересекаются в точке Y. Найдите геометрическое место точек Y (для несовпадающих y_b и y_с).

Решение

Рассмотрим точку X', изогонально сопряженную X, и точки U, V, W, симметричные X' относительно AB, AC, BC. Из перпендикулярности прямых x и y следует, что точки U, V лежат на y. Кроме того, прямые XB, XC являются серединными перпендикулярами к отрезкам UW, VW. Следовательно, W лежит на прямых y_b, y_c, то есть совпадает с Y (см. рис.). Таким образом, Y лежит на прямой, симметричной относительно BC изогональному образу прямой x. Чтобы получить искомое ГМТ, надо выколоть из этой прямой точки, для которых y_b и y_c совпадают, то есть точку её пересечения с BC и точку, симметричную A относительно BC.

Ответ

Прямая, симметричная относительно BC изогональному образу прямой x, без двух точек.

Источники и прецеденты использования