Версия для печати
Убрать все задачи

---

По окружности выписано 10 чисел, сумма которых равна 100. Известно, что сумма каждых трёх чисел, стоящих рядом, не меньше 29.
Укажите такое наименьшее число А, что в любом таком наборе чисел каждое из чисел не превосходит А.

   Решение

---

n школьников хотят разделить поровну m одинаковых шоколадок, при этом каждую шоколадку можно разломить не более одного раза.
  а) При каких n это возможно, если   m = 9?
  б) При каких n и m это возможно?

   Решение

---

Для чисел а, b и с выполняется равенство  .  Следует ли из него, что  ?

   Решение

---

ABCD - вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. P - точка пересечения диагоналей. Известен радиус описанной окружности R.
а) Найдите  AP² + BP² + CP² + DP².
б) Найдите сумму квадратов сторон четырехугольника ABCD.

   Решение

---

Три шахматиста A, B и C сыграли матч-турнир (каждый с каждым сыграл одинаковое число партий). Может ли случиться, что по числу очков A занял первое место, C – последнее, а по числу побед, наоборот, A занял последнее место, C – первое (за победу присуждается одно очко, за ничью – пол-очка)?

   Решение

---

Лёша нарисовал геометрическую картинку, обведя четыре раза свой пластмассовый прямоугольный треугольник, прикладывая короткий катет к гипотенузе и совмещая вершину острого угла с вершиной прямого. Оказалось, что "замыкающий" пятый треугольник – равнобедренный (см. рис., равны именно отмеченные стороны). Найдите острые углы Лёшиного треугольника?

   Решение

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Лёша нарисовал геометрическую картинку, обведя четыре раза свой пластмассовый прямоугольный треугольник, прикладывая короткий катет к гипотенузе и совмещая вершину острого угла с вершиной прямого. Оказалось, что "замыкающий" пятый треугольник – равнобедренный (см. рис., равны именно отмеченные стороны). Найдите острые углы Лёшиного треугольника?

Решение

  Пусть меньший из углов Лёшиного треугольника равен α. Обозначим точки так, как показано на рисунке.

  Заметим, что четыре угла белого пятиугольника равны по  90° + α. Значит, пятый угол (при вершине F) равен  540° – 4(90° + α) = 180° – 4α.  Следовательно,  ∠EAF = ∠AFE = 4α.
  Теперь заметим, что равнобедренные треугольники ABC и CDE с углом при вершине  90° + α  равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому  AC = CE  и  ∠BAC = ∠CED = 45° – ^α/₂.  Значит, треугольник ACE равнобедренный и  ∠CAE = ½ (180° – ((90° + α) – (90° – α)) = 90° – α.
С другой стороны,  ∠CAE = ∠BAE – ∠BAC = (90° + 4α) – (45° – ^α/₂) = 45° + ^9α/₂,  откуда  11α = 90°.

Ответ

^90°/₁₁, ^900°/₁₁.

Источники и прецеденты использования