Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 13 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Изначально на столе лежат 111 кусков пластилина одинаковой массы. За одну операцию можно выбрать несколько групп (возможно, одну) по одинаковому количеству кусков и в каждой группе весь пластилин слепить в один кусок. За какое наименьшее количество операций можно получить ровно 11 кусков, каждые два из которых имеют различные массы?

Вниз   Решение


Решить в целых числах уравнение  xy = x + y.

ВверхВниз   Решение


Две стороны треугольника равны 25 и 30, а высота, проведённая к третьей, равна 24. Найдите третью сторону.

ВверхВниз   Решение


AB и CD – параллельные прямые, AC – секущая (точки B и D находятся по одну сторону от прямой AC), E и F – точки пересечения прямых AB и CD с биссектрисами углов C и A. Известно, что  AF = 96,  CE = 110.  Найдите AC.

ВверхВниз   Решение


Можно ли раздать шести детям 40 конфет так, чтобы у всех было разное количество конфет и у каждых двух вместе было менее половины всех конфет?

ВверхВниз   Решение


Произведение двух положительных чисел больше их суммы. Докажите, что эта сумма больше 4.

ВверхВниз   Решение


По условиям шахматного матча победителем объявляется тот, кто опередил соперника на две победы. Ничьи в счет не идут. Вероятности выигрыша у соперников одинаковы. Число результативных партий в таком матче – величина случайная. Найдите её математическое ожидание.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC угол B — прямой или тупой. На стороне BC взяты точки M и N так, что BM=MN=NC. Докажите, что BAM>MAN>NAC.

ВверхВниз   Решение


На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD построены внешним образом правильные треугольники BCK и DCL.
Докажите, что треугольник AKL правильный.

ВверхВниз   Решение


Треугольники ACC1 и BCC1 равны. Их вершины A и B лежат по разные стороны от прямой CC1.
Докажите, что треугольники ABC и ABC1 – равнобедренные.

ВверхВниз   Решение


Петр Иванович, еще 49 мужчин и 50 женщин в случайном порядке рассаживаются вокруг круглого стола. Назовём мужчину довольным, если рядом с ним сидит женщина. Найдите:
  а) вероятность того, что Петр Иванович доволен;
  б) математическое ожидание числа довольных мужчин.

ВверхВниз   Решение


На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбраны точки K и L так, что  AK = KL = LB.
Найдите острые углы треугольника ABC, если известно, что  CK = CL.

ВверхВниз   Решение


Семь грибников собрали вместе 100 грибов. Обязательно ли найдутся два грибника, собравшие вместе не менее чем 36 грибов, если количества грибов, собранных каждым, попарно различаются?

Вверх   Решение

Задача 66298
Тема:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Семь грибников собрали вместе 100 грибов. Обязательно ли найдутся два грибника, собравшие вместе не менее чем 36 грибов, если количества грибов, собранных каждым, попарно различаются?


Решение

Пусть, например, грибники собрали 10, 12, 13, 14, 16, 17 и 18 грибов соответственно. Тогда любая пара вместе собрала не более чем 35 грибов, а
10 + 12 + 13 + 14 + 16 + 17 + 18 = 100.


Ответ

Не обязательно.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2017/18
класс
Класс 9
задача
Номер 9.5.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .