Выбрано 12 задач 
Убрать все задачи
Через вершины А и С треугольника АВС проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла АВС. Они пересекают прямые СВ и ВА в точках К и М соответственно. Найдите длину АВ, если ВМ = 8 см, KC = 1 см и АВ > ВС.
В окружность радиуса 10 вписан четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны и равны 12 и 10. Найдите стороны четырёхугольника.
Найдите все значения корней:
a) ;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
Существует следующий способ проверить, делится ли данное число N на
19:
1) отбрасываем последнюю цифру у числа N;
2) прибавляем к полученному числу произведение отброшенной цифры
на 2;
3) с полученным числом проделываем операции 1) и 2) до тех пор, пока не останется число, меньшее или равное 19.
4) если остается 19, то 19 делится на N, в противном случае N не делится на 19.
Докажите справедливость этого признака делимости.
``65 = 64 = 63''.
Тождество Кассини
лежит в основе одного геометрического
парадокса. Он заключается в том, что можно взять шахматную доску,
разрезать ее на четыре части, как показано ниже, а затем
составить из этих же частей прямоугольник:
Как расположить те же четыре части шахматной доски, чтобы
доказать равенство ``64=63''?
Пусть z1, ..., zn – отличные от
нуля комплексные числа, лежащие в полуплоскости α < arg z < α + π. Докажите, что
а) z1 + ... + zn ≠ 0;
б) 1/z1 + ... + 1/zn ≠ 0.
Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и проекции одного из катетов на гипотенузу.
Найдите все числа вида 13xy45z, которые делятяс на 792.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R. Его диагонали взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке P.
Найдите AP² + BP² + CP² + DP² и AB² + BC² + CD² + AD².
Докажите, что при любом натуральном n число n² + 8n + 15 не делится на n + 4.
Известно, что z + z–1 = 2 cos α.
а) Докажите, что zn + z–n = 2 cos nα.
б) Как выражается zn + z–n через y = z + z–1?
Правильный треугольник ABC вписан в окружность. Прямая l, проходящая через середину стороны AB и параллельная AC, пересекает дугу AB, не содержащую C, в точке K. Докажите, что отношение AK : BK равно отношению стороны правильного пятиугольника к его диагонали.
|
|
 |
Условие
Правильный треугольник ABC вписан в окружность. Прямая l, проходящая через середину стороны AB и параллельная AC, пересекает дугу AB, не содержащую C, в точке K. Докажите, что отношение AK : BK равно отношению стороны правильного пятиугольника к его диагонали.
Решение
Пусть L – вторая точка пересечения прямой l с окружностью (см. рис.). Тогда AL = BL + CL = BK + AK (см. задачу 52355). С другой стороны, так как KL делит AB пополам, площади треугольников AKL и BKL равны, то есть AK·AL = BK·BL = BK². Поэтому отношение t = AK/BK удовлетворяет уравнению t(1 + t) = 1, корнем которого является отношение стороны правильного пятиугольника к его диагонали.
