Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
Вершины треугольника $DEF$ лежат на разных сторонах треугольника $ABC$. Касательные, проведенные из центра вписанной в треугольник $DEF$ окружности к вневписанным окружностям треугольника $ABC$, равны. Докажите, что $4S_{DEF} \ge S_{ABC}$.
Биссектриса одного из острых углов прямоугольного треугольника высотой, опущенной на гипотенузу, делится на отрезки, отношение которых равно
1 + , считая от вершины. Найдите острые углы треугольника.
Известно, что "медные" монеты достоинством в 1, 2, 3, 5 коп. весят соответственно 1, 2, 3, 5 г. Среди четырех "медных" монет (по одной каждого достоинства) есть одна бракованная, отличающаяся весом от нормальной. Как с помощью взвешиваний на чашечных весах без гирь определить бракованную монету?
Дан треугольник $ABC$. Пусть $I$ – центр вневписанной окружности, касающейся стороны $AB$, а $A_1$ и $B_1$ – точки касания двух других вневписанных окружностей со сторонами $BC$ и $AC$ соответственно. Пусть $M$ – середина отрезка $IC$, а отрезки $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $N$. Докажите, что точки $N$, $B_1$, $A$ и $M$ лежат на одной окружности.
|
|
 |
Условие
Дан треугольник $ABC$. Пусть $I$ – центр вневписанной окружности, касающейся стороны $AB$, а $A_1$ и $B_1$ – точки касания двух других вневписанных окружностей со сторонами $BC$ и $AC$ соответственно. Пусть $M$ – середина отрезка $IC$, а отрезки $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $N$. Докажите, что точки $N$, $B_1$, $A$ и $M$ лежат на одной окружности.
Решение
Будем использовать стандартные обозначения $a, b, c$ и $p$ для длин сторон и полупериметра треугольника $ABC$.
Пусть первая вневписанная окружность касается прямой $BC$ в точке $K$. Поскольку $KM$ – медиана прямоугольного треугольника $CKI$, то при повороте на угол
φ = 180° – $\angle C$ прямая $BC$ переходит в прямую $AC$. При этом точка $K$ переходит в $C$, точка $B$ – в $B_1$, а точка $A_1$ – в $A$ (как известно, $KB = CB_1 = p - a$, $BA_1 = B_1A = p - c$). Поэтому $MA = MA_1$, $MB = MB_1$.
Равнобедренные треугольники $A_1MA$ и $B_1MB$ подобны (у обоих углы при вершине $M$ равны φ). Значит, $\angle MAN = \angle MAA_1 = \angle MB_1B = \angle MB_1N$, что и требовалось.
Замечания
10 баллов
