Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 8 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

В круг вписан правильный треугольник. Найдите отношение объёмов тел, полученных от вращения круга и треугольника вокруг диаметра, проходящего через вершину треугольника. В ответе укажите отношение меньшего объёма к большему (с точностью до сотых).

Вниз   Решение


В десятичной записи положительного числа α отброшены все десятичные знаки, начиная с третьего знака после запятой (то есть взято приближение α с недостатком с точностью до 0, 01). Полученное число делится на α и частное снова округляется с недостатком с той же точностью. Какие числа при этом могут получиться?

ВверхВниз   Решение


Пять друзей подошли к реке и обнаружили на берегу лодку, в которой могут поместиться все пятеро. Они решили покататься на лодке. Каждый раз с одного берега на другой переправляется компания из одного или нескольких человек. Друзья хотят организовать катание так, чтобы каждая возможная компания переправилась ровно один раз. Получится ли у них это сделать?

ВверхВниз   Решение


Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы, равная 6, составляет угол 30o с плоскостью другой боковой грани. Найдите объём призмы.

ВверхВниз   Решение


В пространстве расположен выпуклый многогранник, все вершины которого находятся в целых точках. Других целых точек внутри, на гранях и на рёбрах нет. (Целой называется точка, все три координаты которой – целые числа.) Доказать, что число вершин многогранника не превосходит восьми.

ВверхВниз   Решение


Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 , в котором AB =2 , AD = 4 , BB1 = 12 . Точки M и K расположены на рёбрах CC1 и AD соответственно, причём CM:MC1 = 1:2 , AK = KD . Найдите угол между прямыми AM и KB1 .

ВверхВниз   Решение


В Швамбрании некоторые города связаны двусторонними беспосадочными авиарейсами. Рейсы разделены между тремя авиакомпаниями, причём если какая-то авиакомпания обслуживает линию между городами А и Б, то самолёты других компаний между этими городами не летают. Известно, что из каждого города летают самолёты всех трёх компаний. Докажите, что можно, вылетев из некоторого города, вернуться в него, воспользовавшись по пути рейсами всех трёх компаний и не побывав ни в одном из промежуточных городов дважды.

ВверхВниз   Решение


На стороне AB треугольника ABC выбрана точка M. В треугольнике ACM точка I1 – центр вписанной, J1 – центр вневписанной окружности, касающейся стороны CM. В треугольнике BCM точка I2 – центр вписанной, J2 центр вневписанной окружности, касающейся стороны CM. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков I1I2 и J1J2 перпендикулярна AB.

Вверх   Решение

Задача 66411
Темы:    [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
[ Скалярное произведение ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

На стороне AB треугольника ABC выбрана точка M. В треугольнике ACM точка I1 – центр вписанной, J1 – центр вневписанной окружности, касающейся стороны CM. В треугольнике BCM точка I2 – центр вписанной, J2 центр вневписанной окружности, касающейся стороны CM. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков I1I2 и J1J2 перпендикулярна AB.

Решение

Пусть P, R, S и Q – основания перпендикуляров, проведенных из точек I1, I2, J1 и J2 к прямой AB (см. рисунок).

Докажем, что PQ = RS. Используя, что MP = pACMAC, а BQ = pBCM, получим: PQ = MQ – MP = (BQ – BM) – (pACMAC) = (pBCMBM) – (pACMAC) = 0,5(BC + CM – BM – AM – CM + AC) = 0,5(BC + AC – AB).

Аналогичные вычисления можно проделать и для отрезка RS.

Пусть X и Y – середины отрезков I1I2 и J1J2 соответственно. Докажем, что = 0. Заметим, что . Кроме того, , а RS = . Следовательно, = 0, что и требовалось.

Комментарии.

1) Вместо использования скалярного произведения векторов можно было воспользоваться тем, что при проекции на AB середины отрезков I1I2 и J1J2 попадают в совпадающие середины отрезков PR и QS.

2) Верен следующий факт (И.Ф.Шарыгин): Пусть L – точка касания окружности, вписанной в треугольник ABC, со стороной AB. Тогда точки I1, I2, M и L лежат на одной окружности.

Доказав аналогичный факт для точек J1 и J2, и учитывая, что точки X и Y – центры этих окружностей, то есть лежат на серединном перпендикуляре к ML, можно получить другое решение задачи.

3) Еще один факт, эквивалентный задаче И.Ф. Шарыгина и связанный с даной задачей: LP = MR. Его можно доказать, используя отрезки касательных.

4) Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC. Тогда прямая XY является прямой Гаусса для четырехугольника II1MI2 и проходит через середину IM. Теперь, используя задачу И.Ф. Шарыгина или факт из комментария 3, можно получить еще одно решение данной задачи. Про прямую Гаусса см., например, В.В. Прасолов, "Задачи по планиметрии", глава 4.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата 2018-04-15
класс
Класс 10-11
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .