ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи В круг вписан правильный треугольник. Найдите отношение объёмов тел, полученных от вращения круга и треугольника вокруг диаметра, проходящего через вершину треугольника. В ответе укажите отношение меньшего объёма к большему (с точностью до сотых). В десятичной записи положительного числа α отброшены все десятичные знаки, начиная с третьего знака после запятой (то есть взято приближение α с недостатком с точностью до 0, 01). Полученное число делится на α и частное снова округляется с недостатком с той же точностью. Какие числа при этом могут получиться? Пять друзей подошли к реке и обнаружили на берегу лодку, в которой могут поместиться все пятеро. Они решили покататься на лодке. Каждый раз с одного берега на другой переправляется компания из одного или нескольких человек. Друзья хотят организовать катание так, чтобы каждая возможная компания переправилась ровно один раз. Получится ли у них это сделать? Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы, равная 6, составляет угол 30o с плоскостью другой боковой грани. Найдите объём призмы. В пространстве расположен выпуклый многогранник, все вершины которого находятся в целых точках. Других целых точек внутри, на гранях и на рёбрах нет. (Целой называется точка, все три координаты которой – целые числа.) Доказать, что число вершин многогранника не превосходит восьми. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 , в котором AB =2 , AD = 4 , BB1 = 12 . Точки M и K расположены на рёбрах CC1 и AD соответственно, причём CM:MC1 = 1:2 , AK = KD . Найдите угол между прямыми AM и KB1 . В Швамбрании некоторые города связаны двусторонними беспосадочными авиарейсами. Рейсы разделены между тремя авиакомпаниями, причём если какая-то авиакомпания обслуживает линию между городами А и Б, то самолёты других компаний между этими городами не летают. Известно, что из каждого города летают самолёты всех трёх компаний. Докажите, что можно, вылетев из некоторого города, вернуться в него, воспользовавшись по пути рейсами всех трёх компаний и не побывав ни в одном из промежуточных городов дважды. На стороне AB треугольника ABC выбрана точка M. В треугольнике ACM точка I1 – центр вписанной, J1 – центр вневписанной окружности, касающейся стороны CM. В треугольнике BCM точка I2 – центр вписанной, J2 центр вневписанной окружности, касающейся стороны CM. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков I1I2 и J1J2 перпендикулярна AB. |
Задача 66411
УсловиеНа стороне
AB треугольника ABC выбрана точка M. В треугольнике ACM
точка I1 – центр вписанной, J1 – центр вневписанной
окружности, касающейся стороны CM. В треугольнике BCM точка
I2 – центр вписанной, J2 центр вневписанной окружности,
касающейся стороны CM. Докажите, что прямая, проходящая через
середины отрезков I1I2 и J1J2 перпендикулярна AB. РешениеПусть P, R, S и Q – основания перпендикуляров, проведенных из точек I1, I2, J1 и J2 к прямой AB (см. рисунок). Докажем, что PQ = RS. Используя, что MP = pACM – AC, а BQ = pBCM, получим: PQ = MQ – MP = (BQ – BM) – (pACM – AC) = (pBCM – BM) – (pACM – AC) = 0,5(BC + CM – BM – AM – CM + AC) = 0,5(BC + AC – AB). Аналогичные вычисления можно проделать и для отрезка RS. Пусть X и Y – середины отрезков I1I2 и J1J2
соответственно. Докажем, что Комментарии. 1) Вместо использования скалярного произведения векторов можно было воспользоваться тем, что при проекции на AB середины отрезков I1I2 и J1J2 попадают в совпадающие середины отрезков PR и QS. 2) Верен следующий факт (И.Ф.Шарыгин): Пусть L – точка касания окружности, вписанной в треугольник ABC, со стороной AB. Тогда точки I1, I2, M и L лежат на одной окружности. Доказав аналогичный факт для точек J1 и J2, и учитывая, что точки X и Y – центры этих окружностей, то есть лежат на серединном перпендикуляре к ML, можно получить другое решение задачи. 3) Еще один факт, эквивалентный задаче И.Ф. Шарыгина и связанный с даной задачей: LP = MR. Его можно доказать, используя отрезки касательных. 4) Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC. Тогда прямая XY является прямой Гаусса для четырехугольника II1MI2 и проходит через середину IM. Теперь, используя задачу И.Ф. Шарыгина или факт из комментария 3, можно получить еще одно решение данной задачи. Про прямую Гаусса см., например, В.В. Прасолов, "Задачи по планиметрии", глава 4. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке