Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
Верно ли, что высоты любого тетраэдра пересекаются в одной точке?
Внутри угла расположены две окружности с центрами A, B, которые касаются друг друга и сторон угла. Докажите, что окружность с диаметром AB касается сторон угла.
Дан трёхгранный угол. Рассмотрим три плоскости, содержащие его грани. Эти плоскости разбивают пространство на восемь трёхгранных углов. а) Найдите плоские углы всех образовавшихся трёхгранных углов, если плоские углы исходного трёхгранного угла равны x , y и z . б) Найдите двугранные углы всех образовавшихся трёхгранных углов, если двугранные углы исходного трёхгранного угла равны α , β и γ .
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD с попарно непараллельными сторонами. На стороне AD выбирается произвольная точка P, отличная от A и D. Описанные окружности треугольников ABP и CDP вторично пересекаются в точке Q. Докажите, что прямая PQ проходит через фиксированную точку, не зависящую от выбора точки P.
|
|
 |
Условие
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD с попарно непараллельными сторонами. На стороне AD выбирается произвольная точка P, отличная от A и D. Описанные окружности треугольников ABP и CDP вторично пересекаются в
точке Q. Докажите, что прямая PQ проходит через фиксированную точку, не зависящую от выбора точки P.
Решение
Обозначим через E точку пересечения прямых AB и CD. Рассмотрим случай, в котором точка E лежит на луче CD за точкой D. Четырехугольники CQPD и BQPA – вписанные, значит, ∠CQP = ∠EDP, а ∠PQB = ∠PAE. Сумма углов треугольника EDA равна 180° = ∠DEA + ∠EDP + ∠PAE = ∠DEA + ∠CQP + ∠PQB = ∠CEB + ∠CQB.
Следовательно, четырехугольник CQBE вписан в окружность ω – описанную окружность треугольника CBE. Обозначим через F вторую точку пересечения прямой PQ с ω. Четырехугольник QCEF – вписанный. Значит, 180° = ∠FED + ∠CQP = ∠FED + ∠EDP.
Отсюда следует, что прямые PD и FE параллельны.
Пусть l – прямая, проходящая через точку E параллельно AD. Тогда прямая PQ независимо от выбора точки P проходит через вторую точку пересечения окружности ω и прямой l. Случай, когда точка E лежит с другой стороны, разбирается аналогично.
Комментарий. То же решение можно изложить с использованием направленных углов, тогда оно без изменений будет проходить при любом расположении точек.
