Версия для печати
Убрать все задачи

---

На плоскости P стоит прямой круговой конус. Радиус основания r, высота — h. На расстоянии H от плоскости и l от высоты конуса находится источник света. Какую часть окружности радиуса R, лежащей в плоскости P и концентрической с окружностью, лежащей в основании конуса, осветит этот источник?

   Решение

---

Дан треугольник A₀B₀C₀. На его сторонах A₀B₀, B₀C₀, C₀A₀ взяты точки C₁, A₁, B₁ соответственно. На сторонах A₁B₁, B₁C₁, C₁A₁ треугольника A₁B₁C₁ взяты соответственно точки C₂, A₂, B₂, и вообще, на сторонах A_nB_n, B_nC_n, C_nA_n, треугольника A_nB_nC_n взяты точки C_{n + 1}, A_{n + 1}, B_{n + 1}. Известно, что

Доказать, что треугольник ABC, образованный пересечением прямых A₀A₁, B₀B₁, C₀C₁, содержится в треугольнике A_nB_nC_n при любом n.

   Решение

---

Дано n целых чисел  a₁ = 1,  a₂, a₃, ..., a_n, причём   a_i ≤ a_i+1 ≤ 2a_i  (i = 1, 2,..., n – 1)  и сумма всех чисел чётна. Можно ли эти числа разбить на две группы так, чтобы суммы чисел в этих группах были равны?

   Решение

---

В турнире собираются принять участие 25 шахматистов. Все они играют в разную силу, и при встрече всегда побеждает сильнейший.
Какое наименьшее число партий требуется, чтобы определить двух сильнейших игроков?

   Решение

---

Числа 1, 2, ..., k² расположены в квадратную таблицу

Произвольное число выписывается, после чего из таблицы вычеркивается строка и столбец, содержащие это число. То же самое проделывается с оставшейся таблицей из  (k – 1)²  чисел и т.д. k раз. Найти сумму выписанных чисел.

   Решение

---

Между зажимами A и B включено несколько сопротивлений. Каждое сопротивление имеет входной и выходной зажимы. Какое наименьшее число сопротивлений необходимо иметь и какова может быть схема их соединения, чтобы при порче любых девяти сопротивлений цепь оставалась соединяющей зажимы A и B, но не было короткого замыкания? (Порча сопротивления: короткое замыкание или обрыв.)

   Решение

---

На сторонах квадрата, как на основаниях, построены во внешнюю сторону равные равнобедренные треугольники с острым углом при вершине. Доказать, что получившуюся фигуру нельзя разбить на параллелограммы.

   Решение

---

Доказать, что число всех цифр в последовательности 1, 2, 3,..., 10^k равно числу всех нулей в последовательности 1, 2, 3,..., 10^{k + 1}.

   Решение

---

Как надо расположить числа 1, 2, ..., 1962 в последовательности a₁, a₂, ..., a₁₉₆₂, чтобы сумма  |a₁ – a₂| + |a₂ – a₃| + ... + |a₁₉₆₁ – a₁₉₆₂| + |a₁₉₆₂ – a₁|  была наибольшей?

   Решение

---

Как надо расположить числа  1, 2, ..., 2n  в последовательности  a₁, a₂, ..., a_2n,  чтобы сумма  |a₁ – a₂| + |a₂ – a₃| + ... + |a_2n–1 – a_2n| + |a_2n – a₁|  была наибольшей?

   Решение

---

Имеется 100-значное число, состоящее из единиц и двоек. Разрешается в любых десяти последовательных цифрах поменять местами первые пять с пятью следующими. Два таких числа называются похожими, если одно из них получается из другого несколькими такими операциями. Какое наибольшее количество попарно непохожих чисел можно выбрать?

   Решение

---

По заданному ненулевому x значение x⁸ можно найти за три арифметических действия: x² = x · x, x⁴ = x² · x², x⁸ = x⁴ · x⁴, а x¹⁵ — за пять действий: первые три — те же самые, затем x⁸ · x⁸ = x¹⁶ и x¹⁶ : x = x¹⁶. Докажите, что

а) x¹⁶ можно найти за 12 действий (умножений и делений);

б) для любого натурального n возвести x в n-ю степень можно не более чем за 1 + 1,5 · log₂n действий.

   Решение

Тема:    [ Ребусы ]

Сложность: 3 Классы: 6,7 Название задачи: Учуй кекс.

Прислать комментарий

Условие

Фокусник научил Каштанку лаять столько раз, сколько он ей тайком от публики покажет. Когда Каштанка таким способом правильно ответила, сколько будет дважды два, он спрятал вкусный кекс в чемодан с кодовым замком и сказал:

— Восьмизначный код от чемодана — решение ребуса УЧУЙ = КЕ × КС. Надо заменить одинаковые буквы одинаковыми цифрами, а разные разными так, чтобы получилось верное равенство. Пролай нужное число раз на каждую из восьми букв, и получишь угощение.

Но тут случился конфуз. Каштанка от волнения на каждую букву лаяла на 1 раз больше, чем надо. Конечно, чемодан не открылся. Вдруг раздался детский голос: «Нечестно! Собака правильно решила ребус!» И действительно, если каждую цифру решения, которое имел в виду фокусник, увеличить на 1, получится ещё одно решение ребуса!

Можно ли восстановить: а) какое именно решение имел в виду фокусник; б) чему равнялось число УЧУЙ в этом решении?

Решение

а) Заметим, что КЕ и КС заменяют разные числа, но от их перестановки произведение УЧУЙ не изменится. Значит, для каждого решения ребуса есть парное, где цифры, соответствующие Е и С, поменяны местами. Поэтому однозначно восстановить решение, задуманное фокусником, не получится.

б) После увеличения всех цифр на 1 получилось снова решение ребуса, значит,

УЧУЙ + 1111 = (КЕ + 11)(КС + 11) = КЕ · КС + 11 · КЕ + 11 · КС + 11 · 11.

Поскольку при этом УЧУЙ = КЕ · КС, получаем, что

1111 = 11 · КЕ + 11 · КС + 11 · 11,
101 = КЕ + КС + 11,
КЕ + КС = 90,

то есть

10 · К + Е + 10 · К + С = 90,
20 · К + Е + С = 90.

Заметим, что Е + С — это число от 1 до 17, а значит, 20 · К — число от 73 до 89, которое делится на 20. Тогда 20 · К = 80 и К = 4, а Е + С = 10.

Цифры Е и С — разные, ни одна из них не равна 4, а также ни одна из них не равна 9 (иначе бы при добавлении 1 к каждой цифре произошёл бы переход через десяток, который изменит ровно одну из цифр на месте букв У или К, и итог не будет решением ребуса). Тогда для равенства Е + С = 10 остаётся только два варианта: 2 + 8 и 3 + 7.

Тогда КЕ · КС = 42 · 48 = 2016 или КЕ · КС = 43 · 47 = 2021. Но в слове УЧУЙ совпадают первая и третья буква, а значит, подходит только вариант УЧУЙ = 2021.

Ответ

а) Нет. б) Да, УЧУЙ = 2021.

Источники и прецеденты использования