Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
Два автобуса ехали навстречу друг другу с постоянными скоростями. Первый выехал из Москвы в 11 часов утра и прибыл в Ярославль в 16 часов, а второй выехал из Ярославля в 12 часов и прибыл в Москву в 17 часов. В котором часу они встретились?
Известно, что 1/a – 1/b = 1/a+b. Докажите, что 1/a² – 1/b² = 1/ab.
У менялы на базаре есть много ковров. Он согласен взамен ковра размера a×b дать либо ковёр размера 1/a×1/b, либо два ковра размеров c×b и a/c×b (при каждом таком обмене число c клиент может выбрать сам). Путешественник рассказал, что изначально у него был один ковёр, стороны которого превосходили 1, а после нескольких таких обменов у него оказался набор ковров, у каждого из которых одна сторона длиннее 1, а другая – короче 1. Не обманывает ли он? (По просьбе клиента меняла готов ковёр размера a×b считать ковром размера b×a.)
В Национальной Баскетбольной Ассоциации 30 команд, каждая из которых проводит за год 82 матча с другими командами в регулярном чемпионате. Сможет ли руководство Ассоциации разделить команды (не обязательно поровну) на Восточную и Западную конференции и составить расписание игр так, чтобы матчи между командами из разных конференций составляли ровно половину от общего числа матчей?
Барон Мюнхгаузен утверждает, что к любому двузначному числу можно справа приписать еще две цифры так, чтобы получился полный квадрат (к примеру, если задано число $10$, то дописываем $24$ и получаем $1024 = 32^2$). Прав ли барон?
|
|
 |
Условие
Барон Мюнхгаузен утверждает, что к любому двузначному числу можно справа приписать еще две цифры так, чтобы получился полный квадрат (к примеру, если задано число $10$, то дописываем $24$ и получаем $1024 = 32^2$). Прав ли барон?
Решение
Первое решение. Заметим, что $99^2 = (100-1)^2 = 100^2 - 2 \cdot 100 + 1 = 9801 < 9900$, а $100^2 = 10000 > 9999$. Таким образом, четырехзначных точных квадратов, начинающихся на $99$, не существует, поэтому к числу $99$ нельзя приписать две цифры так, чтобы получился точный квадрат.
Второе решение. Пусть барон прав. Двузначных чисел $90$, поэтому если к каждому приписать две цифры так, чтобы получился точный квадрат, то получится $90$ четырехзначных точных квадратов. Но четырехзначных точных квадратов всего $68$, так как $31^2 = 961 < 1000$, а $100^2 > 9999$. Противоречие.
Ответ
Барон не прав.
