Задача 66844
|
|
 |
Условие
Целое число n таково, что уравнение $x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=n$ имеет решение в целых числах. Докажите, что тогда и уравнение $x^2+y^2-xy=n$ имеет решение в целых числах.Решение
Решение следует из тождества $$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=(x-z)^2+(y-z)^2-(x-z)(y-z).$$
Два пути к решению.
1.
Естественное желание – умножить левую часть на 2 и разложить в сумму квадратов разностей.
Получим $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=2n$, что после переобозначения примет вид $a^2+b^2+(a+b)^2=2n$ или $a^2+b^2+ab=n$.
Осталось поменять знак у a.
2.
Заметим, что увеличение всех переменных на одно и то же число не меняет выражения.
Так давайте вычтем из всех переменных по z и получим требуемое.
