Задача 66844
|
|
 |
Условие
Целое число $n$ таково, что уравнение $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = n$ имеет решение в целых числах.
Докажите, что тогда и уравнение $x^2 + y^2 - xy = n$ имеет решение в целых числах.
Решение
Решение следует из тождества $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = (x - z)^2 + (y - z)^2 - (x - z)(y - z).$
Замечания
1. Два пути к решению.
1) Естественное желание – умножить левую часть на 2 и разложить в сумму квадратов разностей. Получим
$(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 2n$, что после переобозначения примет вид $a^2 + b^2 + (a + b)^2 = 2n$, или $a^2 + b^2 + ab = n$. Осталось поменять знак у $a$.
2) Заметим, что увеличение всех переменных на одно и то же число не меняет выражения. Вычтем из всех переменных по $z$ и получим требуемое.
2. 5 баллов.
