Задача 66844
|
|
 |
Условие
Целое число n таково, что уравнение x2+y2+z2−xy−yz−zx=n имеет решение в целых числах.
Докажите, что тогда и уравнение x2+y2−xy=n имеет решение в целых числах.
Решение
Решение следует из тождества x2+y2+z2−xy−yz−zx=(x−z)2+(y−z)2−(x−z)(y−z).
Замечания
1. Два пути к решению.
1) Естественное желание – умножить левую часть на 2 и разложить в сумму квадратов разностей. Получим
(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2=2n, что после переобозначения примет вид a2+b2+(a+b)2=2n, или a2+b2+ab=n. Осталось поменять знак у a.
2) Заметим, что увеличение всех переменных на одно и то же число не меняет выражения. Вычтем из всех переменных по z и получим требуемое.
2. 5 баллов.
