Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
100 гирек веса 1, 2, ..., 100 г разложили на две чаши весов так, что есть
равновесие.
Докажите, что можно убрать по две гирьки с каждой чаши так, что
равновесие не нарушится.
Имеется 100 палочек, из которых можно сложить 100-угольник.
Может ли случиться, что ни из какого меньшего числа этих палочек нельзя сложить многоугольник?
а) Найдите ГМТ, равноудаленных от двух параллельных
прямых.
б) Найдите ГМТ, равноудаленных от двух пересекающихся прямых.
Плоскость α пересекает рёбра AB, BC, CD и DA треугольной пирамиды ABCD в точках K, L, M и N соответственно. Оказалось, что двугранные углы
∠(KLA, KLM), ∠(LMB, LMN), ∠(MNC, MNK) и ∠(NKD, NKL) равны. (Через ∠(PQR, PQS) обозначается двугранный угол при ребре PQ в тетраэдре PQRS.) Докажите, что проекции вершин A, B, C и D на плоскость α лежат на одной окружности.
Какое наименьшее число клеток надо отметить на доске 15×15 так, чтобы слон с любой клетки доски бил не менее двух отмеченных клеток? (Слон бьёт и ту клетку, где стоит.)
Дан квадрат ABCD, M и N – середины сторон BC и AD. На продолжении диагонали AC за точку A взяли точку K. Отрезок KM пересекает сторону AB
в точке L. Докажите, что углы KNA и LNA равны.
В одной из вершин а) октаэдра; б) куба сидит муха. Может ли она проползти по всем его рёбрам ровно по одному разу и возвратиться в исходную вершину?
а) У Тани есть 4 одинаковые с виду гири, массы которых равны 1000, 1002, 1004 и 1005 г (неизвестно, где какая), и чашечные весы (показывающие, какая из двух чаш перевесила или что имеет место равенство). Может ли Таня за 4 взвешивания гарантированно определить, где какая гиря? (Следующее взвешивание выбирается по результатам прошедших.)
б) Тот же вопрос, если у весов левая чашка на 1 г легче правой, так что весы показывают равенство, если масса на левой чашке на 1 г больше, чем на правой.
Некоторый куб рассекли плоскостью так, что в сечении получился пятиугольник.
Докажите, что длина одной из сторон этого пятиугольника отличается от 1 метра по крайней мере на 20 сантиметров.
Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, точка M – середина стороны AC. Прямая BO пересекает высоты AA1 и CC1 в точках Ha и Hc соответственно. Описанные окружности треугольников BHaA и BHcC вторично пересекаются в точке K. Докажите, что K лежит на прямой BM.
|
|
 |
Условие
Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, точка M – середина стороны AC. Прямая BO пересекает высоты AA1 и CC1 в точках Ha и Hc соответственно. Описанные окружности треугольников BHaA и BHcC вторично пересекаются в точке K. Докажите, что K лежит на прямой BM.
Решение 1
Пусть BD – диаметр описанной окружности треугольника ABC. Поскольку ∠ADB=∠C, имеем: ∠CAHa=∠CAA1=90∘−∠C=90∘−∠ADB=∠ABHa. Следовательно, сторона AC касается описанной окружности треугольника BHaA. Аналогично она касается описанной окружности треугольника BHсС. Как известно, радикальная ось BK этих двух окружностей проходит через середину M отрезка AC их общей касательной.
Решение 2
Пусть B′ – точка, симметричная точке B относительно точки M, а описанная окружность треугольника ACB′ пересекает медиану BM в точке K. Тогда внешний угол AKB′ треугольника AKB равен ∠ACB′=∠A (см. далее рисунок слева). Но и внешний угол BHaA1 треугольника AHaB равен ∠BAA1+∠ABO=90∘−∠B+90∘−∠C=∠A (см. далее рисунок справа). Поэтому ∠AKB=∠AHaB, то есть точка K лежит на описанной окружности треугольника BHaA. Аналогично она лежит на описанной окружности треугольника BHсС.
