Задача 66933

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Теорема Птолемея ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Построения с помощью вычислений ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

Диагонали вписанно-описанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $L$. Даны три отрезка, равные $AL$, $BL$, $CL$. Восстановите четырехугольник с помощью циркуля и линейки.

Решение

Так как $ABCD$ – вписанный, то $AL\cdot LC=BL\cdot LD$, т.е. мы знаем длину отрезка $DL$. Пусть $|AL|=a$, $|BL|=b$, $|CL|=c$, $|DL|=d$.

Пусть окружность, вписанная в $ABCD$, касается сторон $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ в точках $P$, $Q$, $R$, $S$ соответственно. Известно, что в описанном четырехугольнике прямые $PR$ и $QS$ проходят через $L$. Кроме того, поскольку $ABCD$ – вписанный, $PR$ и $QS$ являются биссектрисами углов между $AC$ и $BD$.

Пусть $AS=AP=a'$, $BP=BQ=b'$, $CQ=CR=c'$, $DR=DS=d'$. По теореме о биссектрисе $AL:LB=AP:PB$, т.е. $a':a=b':b$. Аналогично получаем, что $a':a=b':b=c':c=d':d$. Обозначим это отношение через $x$. Тогда $AB=(a + b)x$, и аналогичные выражения получаем для $BC$, $CD$ и $DA$.

По теореме Птолемея $AB\cdot CD+BC\cdot DA=AC\cdot BD$, откуда находим $$x=\sqrt{(a + c)(b + d)/((a + b)(c + d) + (b +c)(d + a))}.$$ Используя это значение $x$, мы можем построить циркулем и линейкой отрезки $AB$, $BC$, $CD$, $DA$, а значит и четырехугольник $ABCD$.

Замечания

Можно также выразив длины отрезков $LP$, $LQ$, $LR$, $LS$ через $a$, $b$, $c$, $d$ и угол $\varphi=\angle ALB$, найти $\cos\varphi$ из равенства $PL\cdot LR=QL\cdot LS$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2020
Заочный тур
задача
Номер	21 [10-11 кл]