Саша и Маша загадали по натуральному числу и сообщили их Васе. Вася написал на одном листе бумаги сумму загаданных чисел, а на другом – их произведение, после чего один из листов спрятал, а другой (на нём оказалось написано число 2002) показал Саше и Маше. Увидев это число, Саша сказал, что не знает, какое число загадала Маша. Услышав это, Маша сказала, что не знает, какое число загадал Саша. Какое число загадала Маша?

   Решение

Пусть x, y, z – любые числа из интервала  (0, ^π/₂).  Докажите неравенство  

   Решение

Дан куб. Три плоскости, параллельные граням, разделили его на 8 параллелепипедов. Их покрасили в шахматном порядке. Объёмы чёрных параллелепипедов оказались равны 1, 6, 8, 12.
Найдите объёмы белых параллелепипедов.

   Решение

Темы:    [ Объем параллелепипеда ] [ Вычисление объемов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Дан куб. Три плоскости, параллельные граням, разделили его на 8 параллелепипедов. Их покрасили в шахматном порядке. Объёмы чёрных параллелепипедов оказались равны 1, 6, 8, 12.
Найдите объёмы белых параллелепипедов.

Решение

  Обозначим точку пересечения трёх плоскостей, разрезающих куб, через $A$. Заметим, что объём любого из восьми полученных параллелепипедов равен произведению трёх его рёбер, выходящих из $A$. Пусть мы хотим найти объём какого-то белого параллелепипеда α. Перемножив объёмы трёх чёрных параллелепипедов, примыкающих к α, получим произведение длин девяти отрезков: рёбра параллелепипеда α, выходящие из $A$, будут входить в произведение по два раза, а рёбра противоположного к α чёрного параллелепипеда β, выходящие из $A$, – по одному разу. Поделив полученное число на объём β, получим квадрат объёма α.
  Таким образом, перемножая тройки чисел из условия и деля на четвёртое, мы получим квадраты объёмов белых параллелепипедов; останется извлечь корни.

Ответ

2, 3, 4, 24.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования