Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
Внутри параллелограмма $ABCD$ взята такая точка $P$, что ∠$PDA$ = ∠$PBA$. Пусть Ω – вневписанная окружность треугольника $PAB$, лежащая против вершины $A$, а ω – вписанная окружность треугольника $PCD$. Докажите, что одна из общих касательных к Ω и ω параллельна $AD$.
Существует ли в пространстве куб, расстояния от вершин которого до данной плоскости равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
В ряд выписаны несколько нулей и единиц. Рассмотрим пары цифр в этом ряду (не только соседних), где левая цифра равна 1, а правая 0. Пусть среди этих пар ровно M таких, что между единицей и нулем этой пары стоит чётное число цифр, и ровно N таких, что между единицей и нулем этой пары стоит нечётное число цифр. Докажите, что M ≥ N.
При каком наименьшем $k$ среди любых трёх ненулевых действительных чисел можно выбрать такие два числа $a$ и $b$, что |$a - b$| ≤ $k$ или |1/a – 1/b| ≤ $k$?
|
|
 |
Условие
При каком наименьшем $k$ среди любых трёх ненулевых действительных чисел можно выбрать такие два числа $a$ и $b$, что |$a - b$| ≤ $k$ или |1/a – 1/b| ≤ $k$?
Решение
Докажем, что для любых трёх ненулевых чисел $a < b < c$ одна из шести разностей $b$ – $a$, $c$ – $b$, $c$ – $a$, $|\frac{1}{a}$ – $\frac{1}{b}|$, $|\frac{1}{b}$ – $\frac{1}{c}|$, $|\frac{1}{a}$ – $\frac{1}{c}|$ не превосходит 1,5. Не умаляя общности, хотя бы два числа положительны.
Способ 1. Предположим противное. Заменой всех чисел на обратные к ним можно добиться того, чтобы наименьшее число $a$ было не меньше –1. Тогда среднее число $b$ > 0,5,
а наибольшее $c$ > 2. При этом $\frac{1}{b} - \frac{1}{c} > \frac{3}{2}$. Значит, $b$ < ⅔ < 1 и $a$ < 0. Получаем систему неравенств $-a > \frac{3}{2}-b$, $- \frac{1}{a} > \frac{3}{2} - \frac{1}{c} > 3 - \frac{1}{b}$. Перемножив, получим $1 > (\frac{3}{2}-b)(3 - \frac{1}{b})$, то есть $2b > (3 - 2b)(3b - 1)$. Раскрыв скобки и перенеся всё в левую часть, получим $6b^2 - 9b$ + 3 > 0, то есть $(b-1)(2b-1) > 0$. Противоречие.
Способ 2. Разберём возможные случаи.
1) $a$ > 0. Если $b$ ≤ 1, то $b - a$ < 1; если $b > 1$, то $\frac{1}{b} - \frac{1}{c}$ < 1.
2) $a$ < 0. Можно считать, что $bc$ ≤ 1 (иначе заменим все числа на обратные). Пусть $b - a$ > 1,5 и $c - b$ > 1,5. Тогда $b(b + 1,5) < bc$ ≤ 1 = 0,5(0,5 + 1,5). Значит, $b$ < 0,5.
Следовательно, $\frac{1}{c} - \frac{1}{a} < \frac{1}{1,5 + b} + \frac{1}{1,5 - b} = \frac{3}{2,25 - b^2} < \frac{3}{2,25 - 0,25} = \frac{3}{2}.$
Ответ
При $k$ = 1,5.
Замечания
1. Улучшить результат нельзя: для чисел $-1, \frac{1}{2}, 2$ все шесть разностей не меньше $\frac{3}{2}$.
2. 7 баллов.
