Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
Доказать: если стороны треугольника образуют арифметическую
прогрессию, то радиус вписанного круга равен
одной из высот.
В прямоугольном треугольнике ABC с равными катетами AC и BC на
стороне AC как на диаметре построена окружность, пересекающая
сторону AB в точке M. Найдите расстояние от вершины B до центра
этой окружности, если
BM = .
В треугольнике $ABC$ точки $P$ и $Q$ изогонально сопряжены. Прямая $PQ$ пересекает окружность $ABC$ в точке $X$. Прямая, симметричная $BC$ относительно $PQ$, пересекает прямую $AX$ в точке $E$. Докажите, что точки $A$, $P$, $Q$, $E$ лежат на одной окружности.
В равнобедренную трапецию с боковой стороной, равной 9, вписана окружность радиуса 4. Найдите площадь трапеции.
На плоскости начерчены треугольник $ABC$, описанная около него окружность и центр $I$ его вписанной окружности. Пользуясь только линейкой, постройте центр описанной окружности.
|
|
 |
Условие
На плоскости начерчены треугольник $ABC$, описанная около него окружность и центр $I$ его вписанной окружности. Пользуясь только линейкой, постройте центр описанной окружности.
Решение
Построим точку $C_1$ пересечения касательных к окружности в точках $A$, $B$ и вторую точку $C_2$ пересечения окружности с прямой $CI$. Прямая $C_1C_2$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$ и, следовательно, проходит через центр описанной окружности. Построив аналогично серединный перпендикуляр к отрезку $AC$, найдем центр.
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
| год | |
| Год | 2024 |
| Заочный тур | |
| задача | |
| Номер | 19 [10-11 кл] |
