|
|
 |
Условие
Надя загадала многочлен $P(x)$ с вещественными коэффициентами. За один ход Максим может назвать любой многочлен $Q(x)$ с вещественными коэффициентами, а в ответ Надя должна сообщить Максиму следующие два факта:- достигается ли максимальное значение $P+Q$, и если да, то чему оно равно;
- достигается ли минимальное значение $P+Q$, и если да, то чему оно равно.
Решение 1
Сдвинув графики многочленов на 2026 влево, заменим задачу на эквивалентную: будем искать приближение числа $P(0)$. Методом проб находим $n$, при котором у функции $P(x) + x^{2n}$ есть минимальное, а у функции $P(x) - x^{2n}$ — максимальное значение. Этого не произойдёт, пока $2n < \deg P$, обязательно произойдёт, когда $2n$ станет больше $\deg P$, но может произойти и при $2n = \deg P$. Чтобы обеспечить неравенство $2n > \deg P$, увеличим найденное $n$ на 1. При этом же (увеличенном) $n$ и любом натуральном $C$ функция $P(x) - Cx^{2n}$ будет иметь максимальное значение $M_C$, а функция $P(x) + Cx^{2n}$ — минимальное значение $m_C$. При этом $$M_C \geqslant P(0) \geqslant m_C.$$
Как известно, $M_C$ — значение функции $P(x) - Cx^{2n}$ в одном из корней $x_C$ производной $$(P(x) - Cx^{2n})' = P'(x) - 2nCx^{2n-1},$$ то есть $$\frac{P'(x_C)}{x_C^{2n-1}}=2nC\ \ \text{или}\ \ x_C = 0.$$
Функция $\displaystyle{\frac{P'(x)}{x^{2n-1}}}$ стремится к нулю при $x \rightarrow \pm\infty$, значит, для всякого натурального $k$ она ограничена при $|x| \geqslant\frac1k$. Следовательно, для данного $k$ имеем: $|x_C| < \frac1k$ при достаточно большом $C$. Так как $k$ можно выбрать произвольным, получаем, что $x_C \rightarrow 0$ при $C\rightarrow+\infty$. Отсюда следует, что $$Cx_C^{2n}=\frac{x_C}{2n}P'(x_C)\rightarrow 0\ \ \text{и}\ \ M_C = P(x_C)- Cx_C^{2n}\rightarrow P(0)\ \ \text{при}\ \ C\rightarrow+\infty.$$ Аналогично $m_C\rightarrow P(0)$ при $C\rightarrow+\infty$.
Таким образом, Максим, называя многочлены $\pm Cx^{2n}$ при увеличивающихся натуральных значениях $C$, дойдёт до такого $C$, что $M_C - m_C < 10^{-100}$. При этом и $|P(0) - m_C| < 10^{-100}$.
Решение 2
Пусть $n>2$ чётно и $Q_n(x) = n^{n-2}(x-2026)^n$. Будем называть $Q_n(x)$, увеличивая $n$. Когда $n$ станет больше $\deg P$, Надя сообщит $m_n = \min(P + Q_n) = P(x_n) + Q_n(x_n)$. Так как $Q_n(x)\geqslant0$ и $Q_n(2026)=0$, то $P(x_n) \leqslant m_n \leqslant P(2026)$, а $x_n$ — корень производной $P'(x) + (n(x-2026))^{n-1}$. Оценим $x_n$. Пусть $P'(x) = \sum a_k(x-2026)^k$. Тогда $$|n(x_n-2026)|^{n-1} = |P'(x_n)| = |\sum a_k(x_n-2026)^k| \leqslant \max(1, |x_n-2026|^{n-1})\cdot\sum |a_k|.$$ Существует такое $n$, что $2^{n-1} > \sum|a_k|$. Если при этом $\max(1, |x_n-2026|^{n-1})=|x_n-2026|^{n-1}$, то $x_n\ne2026$ и $|n(x_n-2026)|^{n-1} \leqslant |2(x_n-2026)|^{n-1},$ что неверно при $n>2$. Следовательно, $\max(1, |x_n-2026|^{n-1})=1$, и тогда $|n(x_n-2026)|<2$, то есть $|x_n-2026| < \frac2n$ при $2^{n-1} > \sum|a_k|$.
Поэтому при стремлении $n$ к бесконечности $x_n$ стремится к 2026, а $P(x_n)$ стремится к $P(2026)$ снизу, тогда и $m_n$ — тоже. Нечётным $(n-1)$-м ходом спрашиваем $-Q_n(x)$ и получаем $M_n = \max(P - Q_n)$, что аналогично стремится к $P(2026)$, но сверху. Когда $M_n - m_n$ станет меньше $10^{-100}$, назовём $t = m_n$.
Решение 3
Пусть Максим всегда называет такие многочлены $Q(x)$, что $Q(2026)=0$, тогда значения многочленов $P$ и $P+Q$ в точке $2026$ совпадают. Разобьём стратегию Максима на два шага. На первом он найдёт ограничение на степень многочлена $P$. А на втором он зажмёт значение $P(2026)$ между двумя «близкими» числами.
Первый шаг. Пусть Максим последовательно называет многочлены вида $\pm(x-2026)^{2n}$ для $n=1,2,\ldots$, пока не услышит, последовательно назвав многочлены $(x-2026)^{2k}$ и $-(x-2026)^{2k}$, что сумма $P$ с первым из них достигает минимума, а сумма $P$ со вторым из них достигает максимума.
Такое происходит тогда и только тогда, когда $P(x)+(x-2026)^{2k}$ и $P(x)-(x-2026)^{2k}$ — многочлены чётной степени, первый с положительным старшим коэффициентом, а второй — с отрицательным. То есть это заведомо произойдёт — либо когда $2k$ станет равно степени многочлена $P$, либо как только $2k$ станет больше этой степени.
Второй шаг. Если многочлен ${P(x)+(x-2026)^{2k}+Q_n(x)}$ имеет чётную степень, положительный старший коэффициент и принимает значение $P(2026)$, то он имеет минимум, который не больше $P(2026)$. В аналогичной ситуации многочлен $P(x)-(x-2026)^{2k}-Q_n(x)$ имеет максимум, который даёт оценку сверху на $P(2026)$.
Осталось найти подходящую последовательность многочленов $Q_n$, для которой с какого-то момента эти две оценки на $P(2026)$, сверху и снизу, мало отличаются друг от друга. Покажем, что подойдёт, например, последовательность $Q_n(x)=n^3(x-2026)^2$.
Действительно, при $|x-2026|\geqslant 1/n$ имеем $|Q_n(x)|\geqslant n$. Поэтому, как бы сильно минимум $P(x)+(x-2026)^{2k}$ ни отличался от $P(2026)$, с какого-то момента для всех таких $x$, что $|x-2026|\geqslant 1/n$, значение $P(x)+(x-2026)^{2k}+Q_n(x)$ станет больше, чем $P(2026)$ (если минимум равен $P(2026)-c$, то достаточно взять $n>c$). Поэтому минимума многочлен $P(x)+(x-2026)^{2k}+Q_n(x)$ достигает при $|x-2026|<1/n$. Но с некоторого $n$, в силу непрерывности многочлена $P(x)+(x-2026)^{2k}$, его значения на интервале $|x-2026|<1/n$ отличаются от значения в точке 2026 не более чем на $10^{-100}$. Для этих $n$ (в силу неотрицательности $Q_n$) минимум многочлена $P(x)+(x-2026)^{2k}+Q_n(x)$ не меньше, чем $P(2026)-10^{-100}$, но не больше $P(2026)$.
По аналогичным соображениям, начиная с некоторого $n$, максимум многочлена $P(x)-(x-2026)^{2k}-Q_n(x)$ отличается от $P(2026)$ меньше, чем на $10^{-100}$.
Итак, называя многочлены $\pm[(x-2026)^{2k}+Q_n(x)]$ для $n=1,2,3,\ldots$, Максим в какой-то момент непременно узнает, что $m\leqslant P(2026)\leqslant M$ для некоторых вещественных чисел $M$ и $m$, отличающихся менее чем на $2\cdot 10^{-100}$. В этот момент он может остановиться и назвать число $(m+M)/2$, поскольку оно отличается от $P(2026)$ менее чем на $10^{-100}$.
Замечания
На Турнире городов 2026 года задача предлагалась в следующей формулировке:Петя загадал многочлен $P(x)$ с вещественными коэффициентами. За один ход Вася может назвать любой многочлен $Q(x)$ с вещественными коэффициентами, а в ответ Петя должен сообщить
$\bullet$ достигается ли максимальное значение $P+Q$, и если да, то чему оно равно;
$\bullet$ достигается ли минимальное значение $P+Q$, и если да, то чему оно равно.
Докажите, что Вася может последовательно задавать вопросы так, чтобы в какой-то момент он перестал их задавать и назвал такое число $t$, что $|P(2026)-t|<10^{-100}$.
