Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
Пусть a1, a2, ..., a10 – натуральные числа, a1 < a2 < ... < a10. Пусть bk – наибольший делитель ak, меньший ak. Оказалось, что b1 > b2 > ... > b10.
Докажите, что a10 > 500.
Дан треугольник ABC. Окружность ω касается описанной окружности Ω треугольника ABC в точке A, пересекает сторону AB в точке K, а также пересекает сторону BC. Касательная CL к окружности ω такова, что отрезок KL пересекает сторону BC в точке T. Докажите, что отрезок BT равен по длине касательной, проведённой из точки B к ω.
Дано натуральное число n > 1. Для каждого делителя d числа n + 1, Петя разделил число n на d с остатком и записал на доску неполное частное, а в тетрадь – остаток. Докажите, что наборы чисел на доске и в тетради совпадают.
По двум пересекающимся дорогам с равными постоянными скоростями движутся автомобили "Ауди" и БМВ. Оказалось, что как в 17.00, так и в 18.00 БМВ находился в два раза дальше от перекрёстка, чем "Ауди". В какое время "Ауди" мог проехать перекрёсток?
Петя раскрашивает 2006 точек, расположенных на окружности, в 17 цветов. Затем Коля проводит хорды с концами в отмеченных точках так, чтобы концы любой хорды были одноцветны и хорды не имели общих точек (в том числе и общих концов). При этом Коля хочет провести как можно больше хорд, а Петя старается ему помешать. Какое наибольшее количество хорд заведомо сможет провести Коля?
Все стороны выпуклого пятиугольника равны, а все углы различны. Докажите, что максимальный и минимальный углы прилегают к одной стороне пятиугольника.
Дан остроугольный треугольник ABC. Точки B' и C' симметричны соответственно вершинам B и C относительно прямых AC и AB. Пусть P – точка пересечения описанных окружностей треугольников ABB' и ACC', отличная от A. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на прямой PA.
В некотором городе разрешаются только парные обмены квартир (если две семьи
обмениваются квартирами, то в тот же день они не имеют права участвовать в
другом обмене). Докажите, что любой сложный обмен квартирами можно осуществить за два дня.
(Предполагается, что при любых обменах каждая семья как до, так и после обмена занимает одну квартиру, и что семьи при этом сохраняются).
Дана доска 15×15. Некоторые пары центров соседних по стороне клеток соединили отрезками так, что получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная, симметричная относительно одной из диагоналей доски. Докажите, что длина ломаной не больше 200.
Несколько человек в течение t минут наблюдали за улиткой. Каждый наблюдал за ней ровно 1 минуту и заметил, что за эту минуту улитка проползла ровно 1 метр. Ни в один момент времени улитка не оставалась без наблюдения. Какой наименьший и какой наибольший путь могла она проползти за эти t минут?
|
|
 |
Условие
Несколько человек в течение t минут наблюдали за улиткой. Каждый наблюдал за ней ровно 1 минуту и заметил, что за эту минуту улитка проползла ровно 1 метр. Ни в один момент времени улитка не оставалась без наблюдения. Какой наименьший и какой наибольший путь могла она проползти за эти t минут?
Решение
На рис. 1 изображен график, показывающий, что за 2,5 минуты улитка может проползти 4 м.
2(t – 1) м, если t – целое, и 2[t], если t – не целое.
Докажем, что это – максимальное перемещение улитки.
Пусть a1 – первый наблюдатель. Рассмотрим всех наблюдателей, которые начали следить за улиткой либо в тот момент, когда кончил a1, либо ещё раньше (по условию такие наблюдатели есть). Пусть a2 – последний из таких наблюдателей. Рассмотрим, далее, всех наблюдателей, начавших следить за улиткой не позже, чем кончил a2, и обозначим через a3 последнего из них. Аналогично выберем наблюдателя a4 и т.д. Очевидно, что в конце концов мы дойдём до наблюдателя, окончившего наблюдать как раз в конце последней минуты (если наблюдатель ak кончил наблюдать раньше, то имеются наблюдатели, начавшие следить позже, чем начал ak, а потому можно выбрать наблюдателя ak+1).
Пусть a1, a2, ..., ak – все выбранные таким образом наблюдатели. Ясно, что промежутки наблюдения a1, a3, a5, ... не пересекаются; точно так же не пересекаются промежутки, в которых следили наблюдатели a2, a4, a6, ...
Действительно, если бы, например, нашёлся момент времени, когда наблюдали a1 и a3, то это означало бы, что наблюдатель a2 выбран неправильно, так как a3 начал наблюдать позже, чем начал a2, но ещё до того, как кончил a1.
Так как промежутки наблюдения a1, a3, a5, ... не пересекаются, то этих наблюдателей за t минут меньше t. Поэтому если t – целое, их не больше
t – 1, а если t не целое, то не больше [t]. Тем же числом ограничивается количество наблюдателей "чётной группы": a2, a4, a6, ...
Так как выделенное множество наблюдателей покрывает весь интервал наблюдения, то улитка не могла проползти больше суммы перемещений, зафиксированных всеми наблюдателями, то есть больше 2(t – 1), если t – целое, и 2[t] – если не целое).
Оценим теперь число "нечётных" наблюдателей снизу. Если все зазоры между соседними нечётными наблюдателями меньше единицы, то число нечётных наблюдателей должно быть больше [t/2]. Это означает, что улитка не могла проползти путь, меньший [t/2] + 1. На рис.2 показано, как должна двигаться улитка, чтобы этот минимум был достигнут.
Ответ
[t/2] + 1 метр; 2(t – 1) метров, если t – целое, 2[t] метров, если t – не целое.
Замечания
Историю и обсуждение задачи см. в решениях задачника Кванта.
