Выбрано 12 задач 
Убрать все задачи
Летела стая гусей. На каждом озере садилась половина гусей и еще полгуся. Остальные летели дальше. Все гуси сели на n озерах.
Сколько всего гусей было в стае?
Четыре круга, центры которых являются вершинами выпуклого четырёхугольника, целиком покрывают этот четырёхугольник. Докажите, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.
а) Докажите, что если в треугольнике медиана совпадает
с высотой, то этот треугольник равнобедренный.
б) Докажите, что если в треугольнике биссектриса совпадает
с высотой, то этот треугольник равнобедренный.
Докажите тождество: 1 + 3 + 5 +...+ (2n – 1) = n2.
Числа в вершинах В неориентированном графе без кратных ребер и петель расставить в вершинах числа так, чтобы если вершины соединены ребром, то числа имели общий делитель, а если нет - то нет. Входные данные. В файле INPUT.TXT записано число N (0<N<7) - количество вершин в графе. Затем записана матрица смежности. Выходные данные. В файл OUTPUT.TXT вывести N натуральных чисел из диапазона Longint, которые вы предлагаете приписать вершинам. Пример файла INPUT.TXT 3 0 1 1 1 0 0 1 0 0 Пример файла OUTPUT.TXT 6 2 3
В пространстве имеется 43 точки: 3 желтых и 40 красных. Никакие четыре из них не лежат в одной плоскости. Может ли количество треугольников с красными вершинами, зацепленных с треугольником с желтыми вершинами, быть равно 2023?
Жёлтый треугольник зацеплен с красным, если контур красного пересекает часть плоскости, ограниченную жёлтым, ровно в одной точке. Треугольники, отличающиеся перестановкой вершин, считаются одинаковыми.
ABCD - вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны.
Из вершин A и B опущены перпендикуляры на CD,
пересекающие прямые BD и AC в точках K и L соответственно.
Докажите, что AKLB — ромб.
Даны n комплексных чисел C1, C2,..., Cn, таких, что если их представлять себе как точки плоскости, то они являются вершинами выпуклого n-угольника. Доказать, что если комплексное число z обладает тем свойством, что
Пусть ABCD — пространственный четырёхугольник, точки K1 и K2 делят
соответственно стороны AB и DC в отношении , точки K3 и K4
делят соответственно стороны BC и AD в отношении
. Доказать, что
отрезки K1K2 и K3K4 пересекаются.
Докажите, что числа p и p + 2 являются простыми числами-близнецами тогда и только тогда, когда 4((p – 1)! + 1) + p ≡ 0 (mod p² + 2p).
Рассмотрим всевозможные прямые, проходящие через точку A , не принадлежащую плоскости π , и образующие равные углы с этой плоскостью (углы, отличные от нуля). Найдите геометрическое место точек пересечения этих прямых с плоскостью π .
P и Q – подмножества множества выражений вида (a1, a2, ..., an), где ai – натуральные числа, не превосходящие данного натурального числа k (таких выражений всего kn). Для каждого элемента (p1, ..., pn) множества P и каждого элемента (q1, ..., qn) множества Q существует хотя бы один такой номер m, что pm = qm. Докажите, что хотя бы одно из множеств P и Q состоит не более чем из kn–1 элементов для
а) k = 2 и любого натурального n;
б) n = 2 и любого натурального k > 1;
в) произвольного натурального n и произвольного натурального k > 1.
|
|
 |
Условие
P и Q – подмножества множества выражений вида (a1, a2, ..., an), где ai – натуральные числа, не превосходящие данного натурального числа k (таких выражений всего kn). Для каждого элемента (p1, ..., pn) множества P и каждого элемента (q1, ..., qn) множества Q существует хотя бы один такой номер m, что pm = qm. Докажите, что хотя бы одно из множеств P и Q состоит не более чем из kn–1 элементов для
а) k = 2 и любого натурального n;
б) n = 2 и любого натурального k > 1;
в) произвольного натурального n и произвольного натурального k > 1.
Решение
a) Набор d назовём противоположным набору d, если d получен из d заменой всех единиц на двойки, а двоек – на единицы. Обозначим через M множество всех наборов, противоположных наборам из M. Наборы d и d ни на одном месте не совпадают. Поэтому, если d входит в P, то d не может входить в Q. Значит, P и Q не содержат одинаковых наборов. Поэтому либо в P, либо в Q не более половины всех наборов. Но в P и в P одинаковое количество наборов. Значит, либо в P, либо в Q не более чем 2n–1 наборов.
б) Для n = 2 задачу можно сформулировать так: k² точек расставлены на плоскости в узлах квадратной решетки (k–1)×(k–1). Некоторые из этих точек нужно закрасить красным, некоторые – синим цветом так, чтобы каждая пара из красной и синей точек лежала либо в одном столбце, либо в одной строке. Одну точку можно закрашивать в оба цвета. Нужно доказать, что точек какого-то одного цвета не более k. Разберём два случая.
1) В подмножестве P есть два таких набора (a1, a2) и (b1, b2), что a1 ≠ b1 и a2 ≠ b2. Тогда в Q могут входить только два набора (a1, b2) и
(b1, a2). Но 2 ≤ k, и утверждение верно.
2) В подмножестве P каждые два набора совпадают в одном месте (для определенности – в первом). Тогда все наборы из P имеют вид (a, b), где a фиксировано. Но таких наборов не более k.
в) Пусть P содержит p, а Q – q наборов. Достаточно доказать, что p + q ≤ 2kn–1. Проведём индукцию по n. База (n = 1) очевидна.
Шаг индукции. Пусть для наборов длины n утверждение доказано. Рассмотрим удовлетворяющие условию множества наборов P и Q длины
n + 1.
Обозначим через Pi множество всех наборов из P, оканчивающихся числом i (1 ≤ i ≤ k). Зачеркнув в наборах из Pi последнее число i, мы получим множество Pi' наборов длины n. Число наборов в Pi (их столько же, сколько в Pi') обозначим через pi. Аналогично рассмотрим множества Qi, Qi' и числа qi.
Пусть i ≠ j. По условию каждые два набора из Pi и Qj совпадают хотя бы в одном месте, но в последнем месте они совпадать не могут. Поэтому каждые два набора из Pi' и Qj' совпадают хотя бы в одном месте. По предположению индукции pi + qj ≤ 2kn–1.
Сложим все эти неравенства (всего их k(k–1)). Поскольку каждое pi (и каждое qj) входит ровно в k – 1 неравенство, а p1 + ... + pk = p,
в результате получим (k – 1)p + (k – 1)q ≤ 2(k – 1)kn. Значит, p + q ≤ 2kn, что и требовалось.
