Выбрано 14 задач 
Убрать все задачи
Окружности ω1 и ω2 касаются внешним образом в точке P. Через центр ω1 проведена прямая l1, касающаяся ω2. Аналогично прямая l2 касается ω1 и проходит через центр ω2. Оказалось, что прямые l1 и l2 непараллельны. Докажите, что точка P лежит на биссектрисе одного из углов, образованных l1 и l2.
Докажите, что геометрическая прогрессия
{an} = bx0n
удовлетворяет соотношению (11.2
) тогда и только тогда,
когда x0
-- корень характеристического уравнения (11.3
) последовательности
{an}.
На плоскости даны две точки A и B. Пусть C – некоторая точка плоскости, равноудалённая от точек A и B. Построим последовательность точек
C1 = C, C2, C3, ..., где Cn+1 – центр описанной окружности треугольника ABCn. При каком положении точки C
а) точка Cn попадёт в середину отрезка AB (при этом Cn+1 и дальнейшие члены последовательности не определены)?
б) точка Cn совпадает с C?
Даны выпуклый n-угольник с попарно непараллельными сторонами и точка O внутри его. Докажите, что через точку O нельзя провести
более n прямых, каждая из которых делит площадь n-угольника пополам.
В прямоугольную таблицу из m строк и n столбцов записаны mn положительных чисел. Найдём в каждом столбце произведение чисел и сложим все n таких произведений. Докажите, что если переставить числа в каждой строке в порядке возрастания, то сумма аналогичных произведений будет не меньше, чем в первоначальной. Решите эту задачу для
а) m = n = 2;
б) m = 2 и произвольного n;
в) любых натуральных m и n.
Доказать, что у всякого выпуклого многогранника найдутся две грани с одинаковым числом сторон.
Точка O, лежащая внутри выпуклого четырёхугольника площади S, отражается симметрично относительно середин его сторон.
Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в полученных точках.
На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.
Дано n точек, n > 4. Докажите, что можно соединить их стрелками так, чтобы из каждой точки в любую другую можно было попасть, пройдя либо по одной стрелке, либо по двум (каждые две точки можно соединить стрелкой только в одном направлении; идти по стрелке можно только в указанном на ней направлении).
а) Докажите, что площадь четырехугольника, образованного серединами
сторон выпуклого четырехугольника ABCD, равна половине площади ABCD.
б) Докажите, что если диагонали выпуклого четырехугольника равны,
то его площадь равна произведению длин отрезков, соединяющих середины
противоположных сторон.
Точки A1, B1 и C1 симметричны центру описанной окружности треугольника ABC относительно его сторон.
Докажите, что треугольники ABC и A1B1C1 равны.
В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд.
Докажите, что если каждый диаметр пересекает не более k
хорд, то сумма длин хорд меньше k.
n человек не знакомы между собой. Нужно так познакомить друг с другом некоторых из них, чтобы ни у каких трёх людей не оказалось одинакового числа знакомых. Докажите, что это можно сделать при любом n.
а) На рисунке слева изображены шесть точек, которые лежат по три на четырёх прямых. Докажите, что можно 24 разными способами отобразить это множество из шести точек на себя так, чтобы каждые три точки, лежащие на одной прямой, отобразились в три точки, лежащие на одной прямой.
б) На рисунке справа девять точек лежат по три на девяти прямых, причём через каждую точку проходит по три таких прямых. Эти девять точек и девять прямых образуют знаменитую конфигурацию Паскаля. Сколькими способами можно множество наших девяти точек отобразить на себя так, чтобы каждая тройка точек, лежащая на одной из девяти наших прямых, отобразилась на тройку точек, которая тоже лежит на некоторой прямой из нашей конфигурации?
в) Тот же вопрос для конфигурации Дезарга (из десяти точек и десяти прямых), изображённой на нижнем рисунке.
|
|
 |
Условие
а) На рисунке слева изображены шесть точек, которые лежат по три на четырёх прямых. Докажите, что можно 24 разными способами отобразить это множество из шести точек на себя так, чтобы каждые три точки, лежащие на одной прямой, отобразились в три точки, лежащие на одной прямой.
б) На рисунке справа девять точек лежат по три на девяти прямых, причём через каждую точку проходит по три таких прямых. Эти девять точек и девять прямых образуют знаменитую конфигурацию Паскаля. Сколькими способами можно множество наших девяти точек отобразить на себя так, чтобы каждая тройка точек, лежащая на одной из девяти наших прямых, отобразилась на тройку точек, которая тоже лежит на некоторой прямой из нашей конфигурации?
в) Тот же вопрос для конфигурации Дезарга (из десяти точек и десяти прямых), изображённой на нижнем рисунке.
Решение
а) Если для каждой из наших четырёх прямых будет указано, на какую прямую она отображается, то тем самым определится и образ каждой точки (каждая точка нашей конфигурации является точкой пересечения определенных двух входящих в конфигурацию прямых). Множество из четырёх прямых можно отобразить на себя 4! = 24 способами.
б) Отметим одну из прямых конфигурации l. Обозначим три лежащие на ней точки конфигурации A, B и C. Через эти точки проходят еще шесть прямых конфигурации. Остаются еще две прямые p и q, которые не проходят ни через одну из точек A, B и C.
Отобразим прямую l на какую-либо из девяти прямых конфигурации – на прямую l1. Выбрать её можно девятью способами. Точки A, B и C придётся отобразить на точки A1, B1 и C1, лежащие на прямой l1. Это можно сделать шестью способами. Прямые p и q должны отобразиться на две прямые p1 и q1, не проходящие через точки A1, B1, C1. Это можно сделать двумя способами. После этого образы остальных точек и прямых конфигурации будут однозначно определены.
Всего, таким образом, получится 9·6·2 = 108 отображений.
в) Выберем одну из десяти прямых l. На ней расположены три точки A, B, C. Отличные от l прямые конфигурации, проходящие через точки A и B, пересекаются попарно еще в двух точках конфигурации X и Y. Отображение конфигурации на себя полностью определится, если задать образ l1 прямой l, образы A1, B1, C1 точек A, B, C, лежащие на прямой l1 и образы X1 и Y1 точек X и Y, которые должны быть точками попарного пересечения отличных от l1 прямых конфигурации, проходящих через точки A1 и B1. Всего получается 10·6·2 = 120 интересующих нас отображений.
Ответ
б) 108; в) 120 способами.
Замечания
Разумеется, здесь дан только конспект решения. Более подробное решение и обсуждение связанных с этой задачей идей и конструкций см. в Решениях Задачника "Кванта" ("Квант", 1974, №1 и №3).
