Выбрано 13 задач 
Убрать все задачи
Окружности ω1 и ω2 касаются внешним образом в точке P. Через центр ω1 проведена прямая l1, касающаяся ω2. Аналогично прямая l2 касается ω1 и проходит через центр ω2. Оказалось, что прямые l1 и l2 непараллельны. Докажите, что точка P лежит на биссектрисе одного из углов, образованных l1 и l2.
Докажите, что геометрическая прогрессия
{an} = bx0n
удовлетворяет соотношению (11.2
) тогда и только тогда,
когда x0
-- корень характеристического уравнения (11.3
) последовательности
{an}.
На плоскости даны две точки A и B. Пусть C – некоторая точка плоскости, равноудалённая от точек A и B. Построим последовательность точек
C1 = C, C2, C3, ..., где Cn+1 – центр описанной окружности треугольника ABCn. При каком положении точки C
а) точка Cn попадёт в середину отрезка AB (при этом Cn+1 и дальнейшие члены последовательности не определены)?
б) точка Cn совпадает с C?
Даны выпуклый n-угольник с попарно непараллельными сторонами и точка O внутри его. Докажите, что через точку O нельзя провести
более n прямых, каждая из которых делит площадь n-угольника пополам.
В прямоугольную таблицу из m строк и n столбцов записаны mn положительных чисел. Найдём в каждом столбце произведение чисел и сложим все n таких произведений. Докажите, что если переставить числа в каждой строке в порядке возрастания, то сумма аналогичных произведений будет не меньше, чем в первоначальной. Решите эту задачу для
а) m = n = 2;
б) m = 2 и произвольного n;
в) любых натуральных m и n.
Доказать, что у всякого выпуклого многогранника найдутся две грани с одинаковым числом сторон.
Точка O, лежащая внутри выпуклого четырёхугольника площади S, отражается симметрично относительно середин его сторон.
Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в полученных точках.
На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.
Дано n точек, n > 4. Докажите, что можно соединить их стрелками так, чтобы из каждой точки в любую другую можно было попасть, пройдя либо по одной стрелке, либо по двум (каждые две точки можно соединить стрелкой только в одном направлении; идти по стрелке можно только в указанном на ней направлении).
а) Докажите, что площадь четырехугольника, образованного серединами
сторон выпуклого четырехугольника ABCD, равна половине площади ABCD.
б) Докажите, что если диагонали выпуклого четырехугольника равны,
то его площадь равна произведению длин отрезков, соединяющих середины
противоположных сторон.
Точки A1, B1 и C1 симметричны центру описанной окружности треугольника ABC относительно его сторон.
Докажите, что треугольники ABC и A1B1C1 равны.
В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд.
Докажите, что если каждый диаметр пересекает не более k
хорд, то сумма длин хорд меньше k.
n человек не знакомы между собой. Нужно так познакомить друг с другом некоторых из них, чтобы ни у каких трёх людей не оказалось одинакового числа знакомых. Докажите, что это можно сделать при любом n.
|
|
 |
Условие
n человек не знакомы между собой. Нужно так познакомить друг с другом некоторых из них, чтобы ни у каких трёх людей не оказалось одинакового числа знакомых. Докажите, что это можно сделать при любом n.
Решение 1
Индукция по n. База. При n < 3 конструкция очевидна.
Шаг индукции. Предположим, что удалось познакомить n человек, так, что никакие трое из них не имеют равного числа знакомых. Присоединим (n+1)-го. Если среди первых n человек найдётся человек, знакомый со всеми остальными, то (n+1)-го не будем ни с кем знакомить. Если же такого нет, то познакомим (n+1)-го со всеми.
В первом случае (n+1)-й не имеет знакомых, а каждый из остальных имеет хоть одного знакомого – того, который ранее был знаком со всеми. Во втором случае (n+1)-й имеет n знакомых, количество знакомых у каждого из первых n человек возросло на единицу, но ни у одного из них не стало n знакомых.
На рисунке показаны схемы знакомств при n ≤ 6, получающиеся описанным способом.
Решение 2
Занумеруем n человек числами от 1 до n и познакомим i-го с j-м, если |i – j| ≤ n/2. Тогда равное количество знакомых имеют только пары людей с номерами k и n – k (при k ≤ n/2 человек с номером k – 1 имеет, очевидно, на одного знакомого меньше, чем человек с номером k).
