Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Квадратный трёхчлен f(x) = ax² + bx + c таков, что уравнение f(x) = x не имеет вещественных корней.
Докажите, что уравнение f(f(x)) = x также не имеет вещественных корней.
Пусть характеристическое уравнение ( 11.3) последовательности {an} имеет два различных корня x1 и x2. Докажите, что при фиксированных a0, a1 существует ровно одна пара чисел c1, c2 такая, что
Дан выпуклый многоугольник и точка O внутри него. Любая прямая, проходящая через точку O, делит площадь многоугольника пополам. Доказать, что многоугольник центрально-симметричный и O — центр симметрии.
Из последовательности a, a + d, a + 2d, a + 3d, ..., являющейся бесконечной арифметической прогрессией, где d не равно 0, тогда и только тогда можно выбрать подпоследовательность, являющуюся бесконечной геометрической прогрессией, когда отношение a/d рационально. Докажите это.
На суде в качестве вещественного доказательства предъявлено
а) Имеется 51 двузначное число. Докажите, что из этих чисел можно выбрать по крайней мере 6 чисел так, чтобы никакие два из выбранных чисел ни в одном разряде не имели одинаковой цифры.
б) Даны натуральные числа k и n, причём 1 < k < n. Для какого наименьшего m верно следующее утверждение: при любой расстановке m ладей на доске размером n×n клеток можно выбрать k ладей из этих m так, чтобы никакие две из этих выбранных ладей не били друг друга?
а) К любому конечному множеству точек плоскости, обладающему тем свойством, что любые три точки из этого множества являются вершинами невырожденного тупоугольного треугольника, всегда можно добавить ещё одну точку так, что это свойство сохранится. Докажите это.
б) Справедливо ли аналогичное утверждение для бесконечного множества точек плоскости?
|
|
 |
Условие
а) К любому конечному множеству точек плоскости, обладающему тем свойством, что любые три точки из этого множества являются вершинами невырожденного тупоугольного треугольника, всегда можно добавить ещё одну точку так, что это свойство сохранится. Докажите это.
б) Справедливо ли аналогичное утверждение для бесконечного множества точек плоскости?
Решение
а) Отметим, что для заданных точек A и B точка C , лежащая вне прямой
AB и вне полосы, образованной перпендикулярами к прямой AB в точках A
и B , образует с точками A и B невырожденный тупоугольный треугольник
(см.рис.1). Для каждой пары точек из заданного конечного множества
построим полосу и прямую в соответствии с рис.1. Конечное число полос
конечной ширины и прямых, очевидно, не покроют всей плоскости, следовательно,
существует точка, образующая с каждой парой точек из заданного множества
тупоугольный треугольник, что и требовалось доказать.
Приведем следующий пример. Рассмотрим множество, состоящее из точек полуокружности без одного конца диаметра (рис.2). Легко видеть, что такое множество удовлетворяет условиям задачи. Докажем что к нему нельзя добавить уже ни одной точки (это почти очевидно). В самом деле, если точка лежит внутри полуокружности на ее диаметре (рис.3, точка X ), то всегда можно найти такую точку C на полуокружности, что треугольник ACX будет остроугольным. То же самое имеет место для всех точек, лежащих вне полуокружности или внутри, но вне ее диаметра (рис.4, точки X' и X'' ; соответствующие точки B' , C' и B'' , C'' выбираются "достаточно близкими"). Если же точка выбирается на диаметре вне полуокружности (рис.5, точка M ), то имеет место вырождение– на рис.5 точки M , N , K оказываются на одной прямой.
Ответ
б) вообще говоря, не справедливо.
