Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на две равные части.

   Решение

Если повернуть квадрат вокруг его центра на 45°, то стороны повёрнутого квадрата разобьют каждую сторону первоначального отрезка на три отрезка, длины которых относятся как  a : b : a  (эти отношения легко вычислить). Для произвольного выпуклого четырёхугольника сделаем аналогичное построение: разобьём каждую его сторону в тех же отношениях  a : b : a  и проведём прямую через каждые две точки деления, соседние с вершиной (лежащие на сходящейся к ней стороне). Докажите, что площадь четырёхугольника, ограниченного четырьмя построенными прямыми, равна площади исходного четырёхугольника.

   Решение

В треугольнике ABC высоты, опущенные на стороны AB и BC, не меньше этих сторон соответственно. Найти углы треугольника.

   Решение

На отрезке [0; 1] задана функция f. Эта функция во всех точках неотрицательна, f(1) = 1, наконец, для любых двух неотрицательных чисел x₁ и x₂, сумма которых не превосходит 1, величина f (x₁ + x₂) не превосходит суммы величин f(x₁) и f(x₂).

а) Докажите для любого числа x отрезка [0; 1] неравенство f(x₂) ≤ 2x.

б) Для любого ли числа х отрезка [0; 1] должно быть верно неравенство f(x₂) ≤ 1,9x?

   Решение

Темы:    [ Монотонность, ограниченность ] [ Индукция (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

На отрезке [0; 1] задана функция f. Эта функция во всех точках неотрицательна, f(1) = 1, наконец, для любых двух неотрицательных чисел x₁ и x₂, сумма которых не превосходит 1, величина f (x₁ + x₂) не превосходит суммы величин f(x₁) и f(x₂).

а) Докажите для любого числа x отрезка [0; 1] неравенство f(x₂) ≤ 2x.

б) Для любого ли числа х отрезка [0; 1] должно быть верно неравенство f(x₂) ≤ 1,9x?

Решение

а) Функция, удовлетворяющая условию задачи, монотонно возрастает. В самом деле, если x₂ x₁ и x₂ 1 , то f(x₂) f(x₁)+f(x₂-x₁) и f(x₂-x₁) 0 ; следовательно, f(x₂) f(x₁) . Поэтому если <x 1 , поскольку f(1)=1 , имеем

f(x) 1 2x.

Пусть теперь 0<x . Возьмем такое натуральное n , чтобы <nx 1 (понятно, что это всегда можно сделать). Легко доказать (по индукции), что если x 0 и nx 1 , то f(nx) nf(x) . Для <nx 1 уже доказано, что f(nx) 2 · nx .

Поэтому nf(x) f(nx) 2 · nx , откуда f(x) 2x и для 0<x .

Осталось только выяснить, что будет в нуле. Возьмем 0<x₁ 1 ; тогда

f(x₁)=f(0+x₁) f(0)+f(x₁).

Но по определению f(0) 0 , значит, f(0)=0 .

б) Ответ: нет, не верно.

Приведем пример. Зададим функцию следующим образом:

f(x)=

Если 1 x₁ x₂ 0 и x₁+x₂ 1 , то x₂ и f(x₂)=0 .

Следовательно, f(x₁+x₂) f(x₁)+f(x₂) и рассматриваемая функция удовлетворяет требованиям задачи.

В то же время

f ( )=1> 1,9 · .

Ответ

б) нет, не верно.

Источники и прецеденты использования