Выбрано 11 задач 
Убрать все задачи
Существует ли такой выпуклый 1976-гранник, который обладал бы следующим свойством: при произвольной расстановке стрелок на концах его рёбер сумма полученных векторов отлична от 0?
Доказать, что при любом целом положительном n сумма
больше ½.
Найдите радиус наибольшей окружности, касающейся изнутри двух пересекающихся окружностей с радиусами R и r, если расстояние между их центрами равно a
(a < R + r).
Докажите, что множество простых чисел вида p = 6k + 5 бесконечно.
Дан многочлен с целыми коэффициентами. В трёх целых точках он принимает
значение 2.
Доказать, что ни в какой целой точке он не принимает значение 3.
В круге с центром O проведена хорда AB. Вычислите площадь получившегося сегмента, если ∠AOB = α, а радиус круга равен r.
Существует ли такое натуральное число n, что сумма цифр числа n2 равна 100?
Доказать, что число 100...001, в котором 21974 + 21000 – 1 нулей, составное.
В треугольнике ABC проведены медианы AD и BE. Углы CAD и CBE равны 30o. Доказать, что треугольник ABC правильный.
К двум окружностям, касающимся извне, проведены общие внешние касательные и точки касания соединены между собой. Доказать, что в полученном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.
Решить в целых числах уравнение x + y = x² – xy + y².
|
|
 |
Условие
Решить в целых числах уравнение x + y = x² – xy + y².
Решение 1
Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x:
x² – (y + 1)x + y² – y = 0. Дискриминант этого уравнения равен
– 3y² + 6y + 1. Он отрицателен при y ≥ 3 и при y ≤ –1. Поэтому для y получаем три возможных значения: 0, 1, 2. Для каждого из этих значений получаем уравнение, которое легко решается.
Решение 2
Правая часть неотрицательна, поэтому x + y ≥ 0.
Запишем уравнение в виде (x + y)² – (x + y) = 3xy. Согласно неравенству Коши xy ≤ ¼ (x + y)², откуда ½ (x + y)² ≤ x + y, то есть x + y ≤ 4. Подставляя x + y = 0, 1, 2, 3, 4, получим, что соответственно xy = 0, 0, ⅔, 2, 4. Теперь решения легко находятся.
Ответ
(0, 0), {0, 1}, {1, 2}, (2, 2).
