Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
Существует ли такой выпуклый 1976-гранник, который обладал бы следующим свойством: при произвольной расстановке стрелок на концах его рёбер сумма полученных векторов отлична от 0?
Доказать, что при любом целом положительном n сумма
больше ½.
Найдите радиус наибольшей окружности, касающейся изнутри двух пересекающихся окружностей с радиусами R и r, если расстояние между их центрами равно a
(a < R + r).
Докажите, что множество простых чисел вида p = 6k + 5 бесконечно.
Дан многочлен с целыми коэффициентами. В трёх целых точках он принимает
значение 2.
Доказать, что ни в какой целой точке он не принимает значение 3.
В круге с центром O проведена хорда AB. Вычислите площадь получившегося сегмента, если ∠AOB = α, а радиус круга равен r.
Существует ли такое натуральное число n, что сумма цифр числа n2 равна 100?
Доказать, что число 100...001, в котором 21974 + 21000 – 1 нулей, составное.
В треугольнике ABC проведены медианы AD и BE. Углы CAD и CBE равны 30o. Доказать, что треугольник ABC правильный.
К двум окружностям, касающимся извне, проведены общие внешние касательные и точки касания соединены между собой. Доказать, что в полученном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.
|
|
 |
Условие
К двум окружностям, касающимся извне, проведены общие внешние касательные и
точки касания соединены между собой. Доказать, что в полученном четырёхугольнике
суммы противоположных сторон равны.
Решение
Пусть O — точка касания окружностей, A и D — точки касания с окружностями одной касательной, B и C — точки касания другой касательной (точки A и B лежат на одной окружности, C и D на другой). Проведём через точку O общую касательную к окружностям. Пусть она пересекает прямые BC и AD в точках P и Q. Две касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны, поэтому PB = PO = PC и QA = QO = QD. Из этого следует, что: 1) отрезок PQ является средней линией трапеции ABCD; 2) длина отрезка PQ равна полусумме длин сторон BC и AD. Остаётся заметить, что длина средней линии трапеции ABCD равна полусумме длин её оснований AB и CD.
