Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
Для каких n существует такая замкнутая несамопересекающаяся ломаная из n звеньев, что каждая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломаной, содержит ещё хотя бы одно её звено?
Натуральное число умножили на 5, результат снова умножили на 5 и так далее, всего сделали $k$ умножений. Оказалось, что в десятичной записи исходного числа и полученных $k$ чисел нет
цифры 7. Докажите, что существует натуральное число, которое можно $k$ раз умножить на 2, и снова ни в одном числе не будет цифры 7 в его десятичной записи.
99 прямых разбивают плоскость на n частей. Найдите все возможные значения n, меньшие 199.
Дана геометрическая прогрессия, знаменатель которой — целое число (не равное 0 и -1). Докажите, что сумма любого числа произвольно выбранных её членов не может равняться никакому члену этой прогрессии.
а) Существует ли последовательность натуральных чисел a1, a2, a3, ..., обладающая следующим свойством: ни один член последовательности не равен сумме нескольких других и an ≤ n10 при любом n?
б) Тот же вопрос, если an ≤ n при любом n.
Даны 3 скрещивающиеся прямые. Докажите, что они будут общими перпендикулярами к своим общим перпендикулярам.
В трёхгранный угол с вершиной S вписана сфера с центром в точке O.
Докажите, что плоскость, проходящая через три точки касания, перпендикулярна к
прямой SO.
Покажите, что для любой последовательности $a_0$, $a_1$, ..., $a_n$, ..., состоящей из единиц и минус единиц, найдутся такие $n$ и $k$, что $|a_0a_1...a_k + a_1a_2...a_{k+1} + ... + a_na_{n+1}...a_{n+k}| = 2017.$
Найдите соотношение между
ABC разбит прямой BD на два треугольника. Докажите, что сумма
радиусов окружностей, вписанных в
ABD и
DBC, больше радиуса
окружности, вписанной в
ABC.
|
|
 |
Условие
ABC разбит прямой BD на два треугольника. Докажите, что сумма
радиусов окружностей, вписанных в
ABD и
DBC, больше радиуса
окружности, вписанной в
ABC.
Решение
Пусть r, r1 и r2 — радиусы вписанных окружностей треугольников ABC,
ABD и BCD, p, p1 и p2 — их полупериметры, S, S1 и S2 —
их площади. Тогда S = S1 + S2, S = pr,
S1 = p1r1 и
S2 = p2r2. Поэтому
r = r1 +
r2. Но BD < BC + CD, поэтому p1 < p;
аналогично p2 < p. Следовательно, r < r1 + r2.
