Натуральные числа m₁, ..., m_n попарно взаимно просты. Докажите, что число  x = (m₂...m_n)^φ(m₁)  является решением системы
    x ≡ 1 (mod m₁),
    x ≡ 0 (mod m₂),
        ...
    x ≡ 0 (mod m_n).

   Решение

Площадь основания пирамиды равна s . Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Найдите площадь полученного сечения.

   Решение

Докажите, что выпуклый 13-угольник нельзя разрезать на параллелограммы.

   Решение

Имеется замкнутая самопересекающаяся ломаная. Известно, что она пересекает каждое свое звено ровно один раз. Докажите, что число звеньев чётно.

   Решение

Темы:    [ Ломаные ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Имеется замкнутая самопересекающаяся ломаная. Известно, что она пересекает каждое свое звено ровно один раз. Докажите, что число звеньев чётно.

Решение

Через точку самопересечения проходят ровно два звена ломаной (если бы проходили три звена, то каждое из них ломаная пересекала бы по крайней мере два раза). Кроме того, на каждом звене лежит ровно одна точка самопересечения. Поэтому, сопоставив точке самопересечения пару пересекающихся в ней звеньев, мы получим разбиение звеньев на пары.

Источники и прецеденты использования