Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
Найти геометрическое место четвёртых вершин прямоугольников, три вершины которых лежат на двух данных концентрических окружностях, а стороны параллельны двум данным прямым.
К некоторому натуральному числу справа последовательно приписали два двузначных числа. Полученное число оказалось равным кубу суммы трёх исходных чисел. Найдите все возможные тройки исходных чисел.
Известно, что в кодовом замке исправны только кнопки с номерами 1, 2, 3, а код этого замка трёхзначен и не содержит других цифр. Написать последовательность цифр наименьшей длины, наверняка открывающую этот замок (замок открывается, как только подряд и в правильном порядке нажаты все три цифры его кода).
Из всех параллелограммов данной площади найти тот, у которого наибольшая диагональ минимальна.
|
|
 |
Условие
Из всех параллелограммов данной площади найти тот, у которого наибольшая
диагональ минимальна.
Решение
Ответ: квадрат. Пусть a и b — длины сторон параллелограмма, α — острый угол между его сторонами, S — площадь, d — наибольшая диагональ. Тогда d2 = a2 + b2 + 2ab cosα и ab sinα = S. Поэтому d2 ≥ a2 + b2 и ab ≥ S, причём в обоих случаях равенство достигается лишь при α = 90o. Далее, a2 + b2 ≥ 2ab, поэтому d2 ≥ 2S, причём равенство достигается лишь в том случае, когда a = b и α = 90o, т.е. когда параллелограмм является квадратом.
