Версия для печати
Убрать все задачи

---

Для любых чисел a₁ и a₂, удовлетворяющих условиям  a₁ ≥ 0,  a₂ ≥ 0,  a₁ + a₂ = 1,  можно найти такие числа b₁ и b₂, что  b₁ ≥ 0,  b₂ ≥ 0,  b₁ + b₂ = 1,
(⁵/₄ – a₁)b₁ + 3(⁵/₄ – a₂)b₂ > 1.  Доказать.

   Решение

---

Дано 8 действительных чисел: a, b, c, d, e, f, g, h. Доказать, что хотя бы одно из шести чисел  ac + bd,  ae + bf,  ag + bh,  ce + df,  cg + dh,  eg + fh  неотрицательно.

   Решение

---

Даны выпуклый многоугольник $M$ и простое число $p$. Оказалось, что существует ровно $p$ способов разбить $M$ на равносторонние треугольники со стороной 1 и квадраты со стороной 1.
Докажите, что длина одной из сторон многоугольника $M$ равна  $p$ – 1.

   Решение

---

На каждом борту лодки должно сидеть по четыре человека. Сколькими способами можно выбрать команду для этой лодки, если есть 31 кандидат, причём десять человек хотят сидеть на левом борту лодки, двенадцать – на правом, а девяти безразлично где сидеть?

   Решение

---

На листе бумаги отмечены точки A, B, C, D. Распознающее устройство может абсолютно точно выполнять два типа операций: а) измерять в сантиметрах расстояние между двумя заданными точками; б) сравнивать два заданных числа. Какое наименьшее число операций нужно выполнить этому устройству, чтобы наверняка определить, является ли четырёхугольник ABCD квадратом?

   Решение

---

Число рёбер многогранника равно 100.
  а) Какое наибольшее число рёбер может пересечь плоскость, не проходящая через его вершины, если многогранник выпуклый?
  б) Докажите, что для невыпуклого многогранника это число может равняться 96,
  в) но не может равняться 100.

   Решение

---

Пусть x, y, z – положительные числа и  xyz(x + y + z) = 1.  Найдите наименьшее значение выражения  (x + y)(x + z).

   Решение

---

Решите уравнения при 0^o < x < 90^o:

a)  + = 2;

б)  + = ;

в)  + = .

   Решение

---

Докажите равенство:

   Решение

---

Решить уравнение  x³ – [x] = 3.

   Решение

Темы:    [ Смешанные уравнения и системы уравнений ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Решить уравнение  x³ – [x] = 3.

Решение

  Пусть  [x] = n  и  x = n + α, где  0 ≤ α < 1.  Тогда  x³ – x + α = 3,  и из ограничений на α следует, что  2 < x³ – x ≤ 3.
  Если  x ≥ 2,  то  x(x² – 1) ≥ 2·3 = 6,  поэтому неравенство  x³ – x ≤ 3  не выполняется. Если  x < –1,  то  x(x² – 1) < 0,  поэтому неравенство  2 < x³ – x  не выполняется.
  Таким образом,  –1 ≤ x < 2,  то есть  [x] = –1, 0  или 1. Соответственно получаем уравнения  x³ + 1 = 3,  x³ = 3,  x³ – 1 = 3.  Их решения:
x = ,  x = ,  x = .  При этом  [] ≠ –1,  [] ≠ 0,  а  [] = 1.

Ответ

x = .

Источники и прецеденты использования