Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
На поляне пасутся 150 коз. Поляна разделена изгородями на несколько участков. Ровно в полдень некоторые козы перепрыгнули на другие участки. Пастух подсчитал, что на каждом участке количество коз изменилось, причём ровно в семь раз. Не ошибся ли он?
Дан треугольник АВС. Точка О1 – центр прямоугольника ВСDE, построенного так, что сторона DE прямоугольника содержит вершину А треугольника. Точки О2 и О3 являются центрами прямоугольников, построенных аналогичным образом на сторонах АС и АВ соответственно. Докажите, что прямые АО1, ВО2 и СО3 пересекаются в одной точке.
Дана система из 25 различных отрезков с общим началом в данной точке A и с концами на прямой l, не проходящей через эту точку. Доказать, что не существует замкнутой 25-звенной ломаной, для каждого звена которой нашёлся бы отрезок системы, равный и параллельный этому звену.
Доказать, что при нечётном n > 1 уравнение xn + yn = zn не может иметь решений в целых числах, для которых x + y – простое число.
Учительница математики предложила изменить схему голосования на конкурсе спектаклей (см. задачу 65299). По её мнению, нужно из всех 2n мам выбрать случайным образом жюри из 2m человек (2m ≤ n). Найдите вероятность того, что лучший спектакль победит при таких условиях голосования.
В выпуклом четырёхугольнике ABCD ∠ABC = 90°,
∠BAC = ∠CAD, AC = AD, DH – высота
треугольника ACD.
В каком отношении прямая BH делит отрезок CD?
Доказать, что если уравнения с целыми коэффициентами x² + p1x + q1, x² + p2x + q2 имеют общий нецелый корень, то p1 = p2 и q1 = q2.
|
|
 |
Условие
Доказать, что если уравнения с целыми коэффициентами x² + p1x + q1, x² + p2x + q2 имеют общий нецелый корень, то p1 = p2 и q1 = q2.
Решение
Если уравнение с целыми коэффициентами x² + px + q = 0 имеет нецелый корень x1, то этот корень иррациональный (см. задачу 61013).
Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Общий корень наших уравнений имеет вид где a и b рациональны, а d – натуральное число "без квадратов" (в его разложение все простые множители входят в первой степени). Так как представление иррационального числа в таком виде единственно, то из формулы корней квадратного уравнения следует, что второй корень каждого из уравнений равен
Таким образом, наши уравнения совпадают.
Второй способ. Общий корень данных уравнений является корнем уравнения (p1 – p2)x + (q1 – q2) = 0, то есть при p1 ≠ p2 является рациональным числом. Если же p1 = p2, q1 ≠ q2, то последнее уравнение вообще корней не имеет. В обоих случаях приходим к противоречию.
