Выбрано 9 задач 
Убрать все задачи
Произведение некоторых 1986 натуральных чисел имеет ровно 1985 различных простых делителей.
Доказать, что либо одно из этих чисел, либо произведение нескольких из них является квадратом натурального числа.
Внутри равностороннего треугольника ABC находится точка O. Прямая OG, соединяющая O с центром тяжести (точкой пересечения медиан) G треугольника, пересекает стороны треугольника (или их продолжения) в точках A', B', C'. Доказать, что
Число x оканчивается на 5. Доказать, что x² оканчивается на 25.
На плоскости даны четыре прямые, из которых никакие две не параллельны, и никакие три не пересекаются в одной точке. По каждой прямой с постоянной скоростью идёт пешеход. Известно, что первый встречается со вторым, с третьим и с четвёртым, а второй встречается с третьим и с четвёртым. Доказать, что третий пешеход встретится с четвёртым.
Произведение некоторых 48 натуральных чисел имеет ровно 10 различных простых
делителей.
Докажите, что произведение некоторых четырёх из этих чисел является
квадратом натурального числа.
Проекции плоского выпуклого многоугольника на ось OX, биссектрису 1-го и
3-го координатных углов, ось OY и биссектрису 2-го и 4-го координатных
углов соответственно равны 4, 3, 5, 4
. Площадь
многоугольника равна S. Доказать, что S
10.
Плоский многоугольник A1A2...An составлен из n твёрдых стержней, соединенных шарнирами. Доказать, что если n > 4, то его можно деформировать в треугольник.
10 книг стоят больше 11 рублей, а 9 книг стоят меньше 10 рублей. Сколько стоит одна книга?
Решить в натуральных числах уравнение x2y–1 + (x + 1)2y–1 = (x + 2)2y–1.
|
|
 |
Условие
Решить в натуральных числах уравнение x2y–1 + (x + 1)2y–1 = (x + 2)2y–1.
Решение
x2y–1 ≡ 1 (mod x + 1). Поскольку число 2y – 1 нечётно, то x2y–1 = –1 (mod x + 1). Значит, 0 = (x + 2)2y–1 – x2y–1 – (x + 1)2y–1 = 1 + 1 = 2 (mod x + 1), то есть x + 1 = 2. Следовательно, 1 + 22y–1 = 32y–1 ⇔ 2y – 1 = 1 ⇔ y = 1.
Ответ
x = y = 1.
